Hallo!
Prinzipiell sieht das gut aus.
Ich habe ein paar Anmerkungen.
Bei 1a) heißt die Menge \(M\) und hat \(m\) Elemente. Von der Notation her solltest du schreiben: Die Potenzmenge einer beliebigen endlichen \(m\)-elementigen Menge \(M\) hat \(2^m\) Elemente (oder: hat die Mächtigkeit \(2^m\) ).
Zur 1c) gibt's ein bisschen mehr zu sagen. Und zwar verstehe ich dein Vorgehen nicht. Bereits definiert ist die Menge \(M\) mit der Mächtigkeit \( |M|=2\). Du bildest davon die Potenzmenge, diese hat \(|P(M)|=2^{|M|} \) Elemente. Und dann nimmst du davon die Potenzmenge, die dann \(|P(P(M))|=2^{2^{|M|}}\) Elemente hat. Und von der Potenzmenge nimmst du dann wieder die Potenzmenge (das nennt man Iteration) und berechnest deren Mächtigkeit. Wie oft du das machst, ist die Anzahl \(k\) der Iterationen. Und gesucht ist dann das \(k\), sodass die Mächtigkeit der Potenzmenge, bei der du dann nach \(k\) Iterationen bist, \( > 10^89 \) ist.
LG Lunendlich :-)