Surjektivität und Injektivität bei Abbildungen komplexer Zahlen?

Erste Frage Aufrufe: 779     Aktiv: 10.11.2020 um 16:14
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Hallo, ist die folgende Abbildung surjektiv oder injektiv und warum jeweils?

\(f: {C} \rightarrow {C},z \longmapsto f(z)=\overline{z}\) 

surjektiv: f(A) = B (Wertevorrat=Bild)

injektiv: \(\leftrightarrow \forall a_1, a_2 mit a_1 \neq a_2 gilt: f (a_1) \neq f(a_2)\\\leftrightarrow [f(a_1)=f(a_2)\rightarrow a_1 = a_2]\)

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Zeige uns, wie Du die Definitionen von surjektiv und injektiv anwendest. Dann können wir Dir weiter helfen.   ─   slanack 10.11.2020 um 15:25
Hab die Frage um die Definitionen erweitert   ─   needfullcalc 10.11.2020 um 15:43
Ich kenne die Definitionen. Ich möchte deine Schritte sehen, wie Du sie anwendest. Die Definitionen enthalten ja schon die Arbeitsanweisung. Erst dann kann man Dir wirklich weiter helfen.   ─   slanack 10.11.2020 um 15:45
Es geht darum, zu verstehen, warum Du nicht weiter kommst.   ─   slanack 10.11.2020 um 15:46
Ich würde z = iy + x einsetzen und dann zum Schluss kommen, dass für x1 != x2 und y1 != y2 bei allen Variationen (2z, z+1, ...) unterschiedliche z entstehen. Damit hätte ich die induktivität begründet.
Aber wie ich Surjektivität aus Geraden ableiten kann, erschließt sich mir trotzdem nicht   ─   needfullcalc 10.11.2020 um 15:50
Ok, das ist doch schon mal etwas. Ich schreibe Dir jetzt unten eine Teilantwort auf. Bei Deinem Ansatz müsstest Du übrigens \(x_1\neq x_2\) ODER \(y_1\neq y_2\) voraussetzen.   ─   slanack 10.11.2020 um 16:07
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Du müsstest so vorgehen:

Injektivität: Seien \(z_1=x_1+\mathrm{i}y_1,z_2=x_2+\mathrm{i}y_2\) gegeben mit \(\overline {z_1}=\overline {z_2}\). Folgere daraus \(x_1=x_2\) und \(y_1=y_2\). Dann hast Du die Injektivität bewiesen.

Surjektivität: Sei \(z\in\mathbb{C}\) gegeben. Finde dann ein \(w\in \mathbb{C}\), so dass \(z=\overline{w}\) gilt. Dann hast Du die Surjektivität bewiesen.

Du musst das genau so durchführen, darfst keine konkreten Werte für \(z\) einsetzen, da es in aller Allgemeinheit bewiesen werden muss.

Ich helfe gerne weiter, falls nötig.

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