Ableitung von x^(x^x)

Aufrufe: 1046     Aktiv: 25.01.2020 um 13:49
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Hallo,

ich habe die Aufgabe bekommen, die folgende Funktion abzuleiten:

\(f_{2}: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R} \operatorname{mit} f_{2}(x)=x^{\left(x^{x}\right)}\)

Zunächst habe ich mir vorgenommen den Ausdruck umzuformen:

\(\begin{aligned} x^{\left(x^{x}\right)} &=\exp \left(x^{x} \log (x)\right) \\ &=\exp (\exp (x \log (x)) \log (x)) \end{aligned}\)

Jedoch komme ich nun nicht mehr weiter. Bei einer ähnlichen Aufgabe habe sich \(\log\) und \(\exp\) jeweils weggekürzt, hier scheint das auf Anhieb nicht z funktionieren. Jedoch komme ich auch gerade nicht drauf wie ich den Term umformen könnte das es passt. Oder ist der Ansatz gänzlich falsch?

Über Tipps, Ideen und Vorschläge würde ich mich sehr freuen.

Vielen Dank im Vorraus

 

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Student, Punkte: 104

 
https://www.youtube.com/watch?v=Vhltl9w6QNM   ─   einmalmathe 23.01.2020 um 22:41
Danke <3   ─   kingkevin23 24.01.2020 um 14:47
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\(x^{(x^x)} = e^{ln(x)e^{ln(x)x}}\)

wie du ja schon hattest.

Die Ableitung nach Anwendung mehrerer Ketten- und Ptoduktregeln ist:

\(\left(x^{(x^x)}\right)'=\left(\frac{1}{x}+ln(x)(1+ln(x)\right)x^xx^{(x^x)}\)

Ich bin gerade auf dem Handy, deswegen habe ich keine Lust, die einzelnen Schritte alle einzutippen, aber es ist wirklich ganz regeltreue Anwendung von Kettenregel, dann Produktregel, dann Kettenregel, dann Produktregel. Mehr ist es nicht. Ist nur ein bisschen  verwirrend teilweise, deswegen das Ergebnis oben zum vergleichen.

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Punkte: 50

 
Danke <3   ─   kingkevin23 25.01.2020 um 13:48

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Ich habe dazu ein Video erstellt, in dem ich zuerst die Ableitung der Funktion \(f(x)=x^x\) und mit diesem Wissen dann die Ableitung von \(f(x)=x^{x^x}\) zu berechnen:

Der entsprechende Abschnitt startet bei 7:10 

https://youtu.be/TkHqEl5N2cA?t=430

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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 35

 
Danke <3   ─   kingkevin23 25.01.2020 um 13:49

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