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Klar ist jedenfalls, dass wenn a_n keine NF ist, die Reihe über (-1)^na_n nicht konvergieren kann (denn dann ist auch (-1)^na_n keine NF).
Zur Monotonie: Es gibt Fälle, in denen ein nicht-monotones a_n eine konvergente Reihe liefert und Fälle, in denen es eine divergente Reihe liefert.
Um diese Beispiele selbst zu finden, spiele etwas mit den Summandenfolgen 1/n und 1/n^2 herum, und baue daraus nicht-monotone Summanden, indem Du den Faktor (-1)^n einbringst. Mit diesem a_n gehst Du dann ins Leibnitz-Kriterium. (Diesen Hinweis bitte genau lesen.)
In der Mathematik lernt man am meisten durch spielerisches Ausprobieren.
Zur Monotonie: Es gibt Fälle, in denen ein nicht-monotones a_n eine konvergente Reihe liefert und Fälle, in denen es eine divergente Reihe liefert.
Um diese Beispiele selbst zu finden, spiele etwas mit den Summandenfolgen 1/n und 1/n^2 herum, und baue daraus nicht-monotone Summanden, indem Du den Faktor (-1)^n einbringst. Mit diesem a_n gehst Du dann ins Leibnitz-Kriterium. (Diesen Hinweis bitte genau lesen.)
In der Mathematik lernt man am meisten durch spielerisches Ausprobieren.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 40.29K
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Super, dank dir mikn.
Wenn $a_n$ keine Nullfolge ist, dann kann natürlich auch nicht die notwendige Bedingung für Konvergenz erfüllt sein.
Die alternierende harmonische Reihe $\sum \limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$ haben wir in der Vorlesung bereits als konvergent bewiesen.
Angenommen ich habe jetzt sowas hier:
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1+(-1)^n}{n}$, dann ist ja $a_n = \frac{1+(-1)^n}{n}$ eine Nullfoge, die aber nicht monoton ist, d.h. das Leibniz Kriterium wäre nicht erfüllt, also die Folge divergent, right? ─ enrico.delsolos 30.11.2021 um 15:13
Wenn $a_n$ keine Nullfolge ist, dann kann natürlich auch nicht die notwendige Bedingung für Konvergenz erfüllt sein.
Die alternierende harmonische Reihe $\sum \limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$ haben wir in der Vorlesung bereits als konvergent bewiesen.
Angenommen ich habe jetzt sowas hier:
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1+(-1)^n}{n}$, dann ist ja $a_n = \frac{1+(-1)^n}{n}$ eine Nullfoge, die aber nicht monoton ist, d.h. das Leibniz Kriterium wäre nicht erfüllt, also die Folge divergent, right? ─ enrico.delsolos 30.11.2021 um 15:13
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Mikn wurde bereits informiert.