Definitheit

Erste Frage Aufrufe: 75     Aktiv: 23.09.2021 um 14:21

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Hi zusammen, kann mir jemand erklären wie ich die a) lösen kann? Ich habe auch nicht wirklich verstanden was pos/neg Definitheit bedeutet.
Wäre schön wenn dazu auch noch jemand eine Erklärung dalassen könnte.

Danke im voraus!
Peter
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Ganz vergessen noch meine Frage zur b) zu stellen. GSV ist mir bezüglich des Standard-Skalarprodukts klar, bei der Aufgabe müsste ich zuvor y mit A multiplizieren und dann normal weitermachen?   ─   peter.hendrik 22.09.2021 um 16:42
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1 Antwort
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Eine reelle positive symmetrische n×n Matrix A heißt positiv definit, wenn für alle v \(\in\) R^n \{0} gilt: \(v^T A v \)> 0
Das kannst du versuchen stumpf nachzurechen. 
Es gibt auch einen Satz, der besagt, eine symmetrische Matrix ist positiv definit, genau dann wenn alle Eigenwerte positiv sind. Auch das wäre eine Möglichkeit. Das man also die Eigenwerte berechnet (streng genommen reicht das Vorzeichen der Eigenwerte). Würde nachdem gehen, was ihr im Skript stehen habt. 

Dir wird nicht entgangen sein, dass man ein Skalarprodukt <x,Ay>  auch als \(x^TAy\) schreiben kann. Wenn A die Einheitsmatrix ist, erhälst du das Standardskalarprodukt zurück. Ein Skalarprodukt muss positiv definit sein. Das heißt, siehe Definition von oben, wenn du das Skalarprodukt auf einen beliebigen Vektor anwendest (außer der Nullvektor) kommt immer was positives raus. Mit der Aufgabe a überprüfst du also eine Eigenschaft, die ein Skalarprodukt erfüllen muss, um auch wirklich ein Skalarprodukt zu sein. Ein Skalarprodukt muss aber noch symmetrisch und Linear im ersten Argument sein. Weil deine Matrix A symmetrisch ist, erfüllt es die Linearität im ersten Argument und die Symmetrie automatisch. Wobei man sich das klar machen sollte. Aber nicht jede Symmetrische Matrix ist automatisch positiv definit. Also positiv definite Matrizen liefern euklidische Skalarprodukte. Ich hoffe, das hat dir ein bisschen was gebracht.
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Okay, danke erstmal für deine Antwort. Habe ich es richtig verstanden, wenn wenn v^T*A*v > 0 ist => pos. Definitheit ? Ja, das mit den Eigenwerten steht bei uns im Skript, danke für den Hinweis :). Jetzt wurden einige Wissenlücken erfolgreich gefüllt, danke für deine Erklärung!   ─   peter.hendrik 22.09.2021 um 18:32

Ja
Gerne!
  ─   h1tm4n 22.09.2021 um 18:57

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Grundsätzlich gilt: Das Skript ist IMMER die erste Anlaufstelle. Man MUSS sich mit dem Skript beschäftigen. Das gehört einfach zum Studium dazu. Dadurch schließen sich die meisten Wissenslücken in der Regel von selbst. Einmal in der Vorlesung aufschreiben (falls man überhaupt mitschreiben muss), reicht nicht aus, um das Geschriebene zu verstehen. Wenn es also um positive Definitheit geht, schaut man erst einmal nach, wie man das definiert hat. Anschließend schaut man, ob man Sätze und Eigenschaften dazu aufgeschrieben hat.   ─   cauchy 22.09.2021 um 21:35

Alles klar, danke dir. Der Aufschrieb im Skript hat mich nur etwas verwirrt um ehrlich zu sein.   ─   peter.hendrik 23.09.2021 um 14:21

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