Eine reelle positive symmetrische n×n Matrix A heißt positiv definit, wenn für alle v \(\in\) R^n \{0} gilt: \(v^T A v \)> 0
Das kannst du versuchen stumpf nachzurechen. 
Es gibt auch einen Satz, der besagt, eine symmetrische Matrix ist positiv definit, genau dann wenn alle Eigenwerte positiv sind. Auch das wäre eine Möglichkeit. Das man also die Eigenwerte berechnet (streng genommen reicht das Vorzeichen der Eigenwerte). Würde nachdem gehen, was ihr im Skript stehen habt. 

Dir wird nicht entgangen sein, dass man ein Skalarprodukt <x,Ay>  auch als \(x^TAy\) schreiben kann. Wenn A die Einheitsmatrix ist, erhälst du das Standardskalarprodukt zurück. Ein Skalarprodukt muss positiv definit sein. Das heißt, siehe Definition von oben, wenn du das Skalarprodukt auf einen beliebigen Vektor anwendest (außer der Nullvektor) kommt immer was positives raus. Mit der Aufgabe a überprüfst du also eine Eigenschaft, die ein Skalarprodukt erfüllen muss, um auch wirklich ein Skalarprodukt zu sein. Ein Skalarprodukt muss aber noch symmetrisch und Linear im ersten Argument sein. Weil deine Matrix A symmetrisch ist, erfüllt es die Linearität im ersten Argument und die Symmetrie automatisch. Wobei man sich das klar machen sollte. Aber nicht jede Symmetrische Matrix ist automatisch positiv definit. Also positiv definite Matrizen liefern euklidische Skalarprodukte. Ich hoffe, das hat dir ein bisschen was gebracht.