Der wesentliche Gedanke hier ist, dass der Winkel zwischen zwei Ebenen identisch ist mit dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren. (Tatsächlich gibt es beliebig viele Normalenvektoren, die sich aber nur durch ihre Länge unterscheiden; jeder ist gleich gut geeignet; wenn man will, kann sie auf die Länge \(1\) normieren.)

Besitzt man die Normalenvektoren, so errechnet sich der Winkel aus der Formel

\[ \cos \phi = \frac{ \vec n_1 \cdot \vec n_2 }{ |\vec n_1| \cdot |\vec n_2| } \]

wobei der Normalenvektor der Horizontalen einfach \( \vec n_2 = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \) ist. (Im Zähler steht ein Skalarprodukt, im Nenner das Produkt zweier einfacher reeller Zahlen.)

Ist die andere Ebene in der Form

\[ E_1 : \vec x = \vec a + \lambda \vec b + \mu \vec c \]

gegeben, so ist \( \vec n_1 \) ein Vektor mit der Eigenschaft, dass er senkrecht auf \(b\) und auf \(c\) steht, also

\[ \frac{ \vec n_1 \cdot \vec b }{ |\vec n_1| \cdot |\vec b| } = \frac{ \vec n_1 \cdot \vec c }{ |\vec n_1| \cdot |\vec c| } = 1 \]

(Das ist dieselbe Formel wie oben, hier mit \( \phi = \frac \pi 2, \, \cos \phi = 1\).) Das Gleichungssystem kannst du nach den drei Komponenten von \( \vec n_1 \) auflösen, die sich als Vielfache von \( |\vec n_1| \) ergeben werden; dafür darfst du einen beliebigen Wert nehmen, so dass sich möglichst „einfache“ Zahlen und keine komplizierten Brüche ergeben.

PS: Falls das Ergebnis \( \phi > \frac \pi 2 \) ist, muss man stattdessen \( \phi' = \pi - \phi \) nehmen.