Frage and die schlauen Mathematiker: Teilverhältnisse im Raum (Quader)

Erste Frage Aufrufe: 82     Aktiv: 28.03.2021 um 23:22
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Da wollen wir mal:

Mein Nummer 1 Problem an deiner Stelle wären für mich die Koordinaten von F.

Den zu finden wird etwas dauern.


Nehmen wir der Einfachheit halber mal an, der Punkt A liegt im koordinatenursprung.
es gilt AG=a+b+c

AK=2/3*AG=2/3*(a+b+c)

Weiter ist
b+c+HK=AK=2/3*(a+b+c)
kannst du nach HK auflösen.

Jetzt definiere ich mal dass HL=k*HK ist für ein bestimmtes k>1.

das k gilt es zu finden, denn dann haben wir auch HL.

Nun gehe ich weiter hin und behaupte,

AL=1*a+y*b+z*c, für bestimmte y,z aus (0,1)

einfach dass AL halt a ist mit einem teil von b und einem Teil von c drangepackt.
oder, wenn man es in der üblichen Vektorschreibweise shcreiben will, kann man AL in der Basis (a,b,c) shcreiben als

(1,y,z)


nun gilt ja grundsätzlich dass

a+yb+zc=AL=AH+HL=(b+c)+k*HK

(HK hattest du ja oben bestimmt in Abhängigkeit von a,b,c)

Also Alles auf eine Seite, nach a,b und c sortieren.

Weil a,b,c linear un abhängig (basis halt)

müssen nun die 3 ausdrücke vor a,b und c jeweils 0 sein.
vor allem der ausdruck vor dem a ist interessant, denn da kommt nur k drin vor!
also erst mal den nach k umformen.
damit kennst du also k.
dann benutzt du jenes k, um mit den anderen 2 ausdrücken y und z zu bestimmen.

somit kennst du nun also auch y und z und damit die koordinaten vom punkt F!


Nun kannst du zwar den Vektor BL über

BL=-a+b+c+HL bestimmen.

Aber eigentlich brauchst du das gar nicht mehr, denn du weißt bereits den Wert von k in der Gleichung HL=k*HK

umgeformt folgt damit dass HK=HL/k
wegen HK+KL=HL folgt dann

KL=HL-HK=HL-1/k*HL=(k-1)/k*HL

heißt (du musst hier natürlich die gefundene Zahl für k einsetzen)

das der Punkt K die Strecke HL im Verhältnis 1/k zu (k-1)/k unterteilt.

wenn dir die kommazahlen nicht passen, kannst du ja beide ausdrücke mit dem selben faktor multiplizieren bis was rundes dasteht :-)


Es geht vermutlich VIEL einfacher und direkter und das ist garantiert nicht der Weg, den der Lehrer will.

Aber wüsste nicht frei weg, wie man ansosnten an die Koordinaten von F kommen will.

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