Anhand des Eulerschen Ansatztes inhomogenes DGL lösen

Aufrufe: 217     Aktiv: 4 Monate, 2 Wochen her

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Moin leute,

ich soll in folgernder Aufgabe anhand des Eulerschen Ansatztes das DGL lösen.

y´´+y=2*Cos(x)+x

Hierbei handelt es sich ja offensichtilich um ein DGL mit Störfunktion.

Da es sich allerdings um ein Cos handelt verstehe ich nicht ganz 100% wie man nun dem angeht.

als erstes macht man ja die charakerristische gleichung als wäre die funktion=0 oder?

und dann fährt man fort mit dem Lösungsansatzt welchen wir in einer tabelle gegeben bekommen und den ich nicht wirklich vertstehe.

gefragt 4 Monate, 2 Wochen her
haukeger
Punkte: 31

 
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1 Antwort
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Ja, zuerst das homogene Problem allgemein lösen (das ist das mit rechte Seite =0, das löst man mit der char. Gleichung).

Dann muss man eine(!) partikuläre Lösung suchen, der Ansatz dazu hängt von der rechten Seite ab. In diesem Fall findest Du die aber in der Tabelle nicht. Das geht dann so:
1. eine part. Lösung für rechte Seite = x bestimmen

2. eine part. Lösung für rechte Seite = 2cos x bestimmen

Ergebnis aus 1. und 2. addieren gibt eine part. Lösung für Deine rechte Seite.

Der Ansatz zu 1. ist \(y_p(x)=c\cdot x\) mit zu bestimmendem Parameter \(c\)

Der Ansatz zu 2. ist \(y_p(x)=x\,(A\sin x+B\cos x)\) mit zu bestimmenden Parameter \(A, B\)  (oder die in der Tabelle genannte zweite Variante, geht auch).

Schau mal, ob Du diese Ansätze anhand der Tabelle bestätigen kannst.

Wenn's irgendwo hakt, nachfragen (unter Angabe, wie weit Du gekommen bist).

 

geantwortet 4 Monate, 2 Wochen her
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 10.04K
 

hmmm ok verstehe schon den ersten part nicht wirklich was genau du mit c*x meinst.
habe das jetzt soweit also schatzungsweise den homogenen teil fertig würde ich behaupten(unten hinzugefügt)
  ─   haukeger 4 Monate, 2 Wochen her

Ok, was ist denn jetzt y_h? Da stehen noch a und b drin.
Zum ersten Part: Wir sind in der Tabelle im Fall ganz oben. Was ist in unserem Fall S(x), was ist P(x), was ist a_1, a_0 und in welchem der drei Fälle rechts sind wir dann?
  ─   mikn 4 Monate, 2 Wochen her

yh müsste ja an sich 1*(A*cos(b*x)+B*sin(b*x)) mit b=+-i
und beim ersten part wären wir im zweiten fall da ja a1=0 und a0=1 ist aber müssten wir nicht nach ganz unten in die tabelle da wir cos haben in S(x)?
  ─   haukeger 4 Monate, 2 Wochen her

Zu y_h: \(a\pm bi\) sind die Nullstellen des char. Polynoms. Bitte identifiziere a, b genau. Jedes Zeichen zählt.
Ich hab Dir in meiner Antwort die Berechnung von y_p in zwei Teile aufgeteilt und dachte mit dem ersten anzufangen. Da ist kein cos drin. Magst Du diesem Weg folgen?
  ─   mikn 4 Monate, 2 Wochen her

hmmm stehe ein wenig auf dem schlauch verstehe nicht ganz was du von mir möchtest.
Habe also denke ich zumindest a und b bereits definiert wie oben zu sehen oder nicht? a=a1/2 = 0/2 =0 ; b=\sqrt{\frac{a1°2}{4}-a0} = \sqrt{\frac{0^2}{4}-1} = i oder ist da was falsch? und das ist doch der erste schritt oder nicht?
  ─   haukeger 4 Monate, 2 Wochen her

Prüfe, ob mit Deinem a,b dann a+bi die Nullstelle gibt. Wie lautet a+bi mit Deinem a, b? In Ruhe einsetzen, Buchstabe für Buchstabe. Also?   ─   mikn 4 Monate, 2 Wochen her

Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe ist yh=a+b*i dementsprechend mit a und b eingestetzt müsste das wie folgt aussehen yh=0+-i*i => yh=+-i^2   ─   haukeger 4 Monate, 2 Wochen her

Nein. Ich hab gefragt, was a+bi ist mit Deinem a,b und Du sagst mir, was y_h ist. So kommen wir nicht weiter.   ─   mikn 4 Monate, 2 Wochen her

joa wie schon gesagt verstehe nicht ganz was du von mir möchtest a+bi ist doch yh? oder was meinst du mit a+bi?   ─   haukeger 4 Monate, 2 Wochen her

Ich möchte, dass Du die Aufgabe löst. Dazu stelle ich Fragen, die Dir dabei helfen sollen. y_h ist nicht a+bi, y_h ist eine Funktion und keine Zahl.   ─   mikn 4 Monate, 2 Wochen her

ahhh ok dann haben wir aneinander vorbei geredet dachte du wolltest versuchen mir klar zu machen das a+bi yh ist.
hmm also soweit ich verstanden habe ist a+bi=λ1 und λ2=a-bi
  ─   haukeger 4 Monate, 2 Wochen her

Das stimmt. Und dann hatte ich gefragt, was ist a und b. Und bitte setze dein a und b in deine obige Formel ein und prüfe, ob das stimmt mit lambda1/2.   ─   mikn 4 Monate, 2 Wochen her

für a hatte ich 0 und für b hatte ich +-i raus welche formel genau meinst du mit oberigen formel? y(x)=e^a*x*(A*cos(b*x)+B*sin(b*x))=>1*(A*cos(+-i*x)+B*sin(+-i*x))?
  ─   haukeger 4 Monate, 2 Wochen her

Wir drehen uns im Kreis. Ich hab schon gesagt, das stimmt nicht. Ich sagte "deine obige Formel", die steht in Deinem Kommentar drüber. Bitte damit prüfen.   ─   mikn 4 Monate, 2 Wochen her

achso ja also eingesetzt kommt a+bi=λ1 und λ2=a-bi jeweils +-i*i also +-i^2   ─   haukeger 4 Monate, 2 Wochen her

Sind das die Nullstellen des char. Polynoms?   ─   mikn 4 Monate, 2 Wochen her

Müssten sie sein.   ─   haukeger 4 Monate, 2 Wochen her

Sind sie es oder sind es nicht?   ─   mikn 4 Monate, 2 Wochen her

ja :D   ─   haukeger 4 Monate, 2 Wochen her

Nein. Wenn Du nicht in Details gründlicher wirst, ist das ein sehr langer Weg. Wir sind jetzt
seit fast 2 Tagen dran und es ist noch nicht mal das hom Problem gelöst. Und das inhom. Problem ist ein ganz anderes Kaliber, ohne gründliches Vorgehen gibt es da gar keine Chance..
  ─   mikn 4 Monate, 2 Wochen her

ja liegt glaube ich daran das ich nicht wirklich verstehe was du von mir möchtest bzw. versuchst mir beizubringen.
also das normale prinzip verstehe ich von euler ich weiß bloß nicht wie ich das angehe wenn ich sin bzw. cos drin habe.
  ─   haukeger 4 Monate, 2 Wochen her

Du hast bisher noch nicht mal das hom. Problem gelöst. Vorher brauchen wir nicht über das inhom. Problem zu reden.   ─   mikn 4 Monate, 2 Wochen her

das stimmt wohl
wir reden aber ja hier von einem komplex konjugierende lösung oder? und da steig ich halt nicht durch wie man das korrekt anwendet
  ─   haukeger 4 Monate, 2 Wochen her

Dann ist es am besten Du schaust das in deinen Unterlagen, im Internet nach Skripten dazu, oder nach videos.   ─   mikn 4 Monate, 2 Wochen her

naja hatte gehofft das mir wer helfen kann das zu verstehen aber dann wohl leider nicht skripte etc.haben mir nämlci hauch nicht weitergeholfen.   ─   haukeger 4 Monate, 2 Wochen her

Auf Deinem Zettel (upload) ist das Vorgehen im Prinzip richtig, aber ab der drittletzten Zeile falsch. Da ich das aber schon mehrmals gesagt habe, und erklärt habe wie Du den Fehler selbst finden kannst (siehe Kommentare oben) leider ohne Erfolg, fällt mir auch keine weitere Hilfestellung ein. Sorry.   ─   mikn 4 Monate, 2 Wochen her

jo korrekt das das falsch ist habe ich schon selber bemerkt darum ja eingeklammert und darunter versucht richtig zu machen. aber da fehlt mir leider der ansatz wie das richtig zu berechnen ist.   ─   haukeger 4 Monate, 2 Wochen her
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