Grenzwert einer Funktion beweisen mit Epsilon und Delta

Erste Frage Aufrufe: 927     Aktiv: 10.05.2022 um 20:33
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Aufgabe : Zeigen Sie mit der ε-δ-Definition aus der Vorlesung, dass folgende Grenzwerte gelten:

(a) limx→4 1/2 x − 3 = −1  (b) limx→−1 2x2 − 3x + 1 = 6  (c) limx→2 (x2 − 3x + 2)/x + 5 = 0

Definition aus der Vorlesung:

Definition (Grenzwert einer Funktion)

Sei f ∶ A → R mit A ⊆ R eine Funktion, x0 ∈ R ein Häufungspunkt von A und a ∈ R.
Wenn es für jedes ε > 0 ein δ > 0 gibt, sodass für jedes x ∈ A mit
∣x0 − x∣ < δ gilt:
∣a − f (x)∣ < ε,
dann ist a der Grenzwert (oder Limes) von f für “x gegen x0”.
Man schreibt dann:
lim
x→x0
f (x) = a
Kann mir bitte jemand erklären, wie man die Aufgabe löst? Ich weiß dass man |f(x)-a| ausrechnet, aber mehr auch nicht
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Okay, lass uns erste Aufgabe zusammen machen. Es ist hier \(|f(x)-a|=|\frac 12 x -2|=\frac 12 |x-4|<\frac 12\delta\). Wie muss \(\delta \) gewählt werden, damit \(\frac 12 \delta <\varepsilon\)?
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Student, Punkte: 10.87K

 
delta = epsilon /2 ?   ─   user7e6d2d 05.05.2022 um 13:16
Ja, können wir auch, sehr gut! Wie sieht das jetzt sauber aufgeschrieben auf?   ─   mathejean 05.05.2022 um 13:25
δ = ε/2 < ε ? bzw ist nicht δ = ε   ─   user7e6d2d 05.05.2022 um 13:32
Ich meine so: Sei \(\varepsilon >0\). Wähle \(\delta=2\varepsilon\). Dann gilt für alle \(x \in \mathbb{R}\) mit \(|x-4|<\delta\):$$|f(x)+1|=\ldots <\frac 12 \delta=\varepsilon$$   ─   mathejean 05.05.2022 um 13:47
Können Sie mir bitte noch bei der Aufgabe b) helfen?   ─   user7e6d2d 05.05.2022 um 13:50
Ich habe bis jetzt:

|f(x)−a|=|(2x^2-3x+1) - 6| = |2x^2-3-5| =   ─   user7e6d2d 05.05.2022 um 13:59
Sehr gut, versuche jetzt mal \(2x^2-3x-5\) zu faktorisieren, dann hast du es schon!   ─   mathejean 05.05.2022 um 17:53
|f(x)−a|=|(2x^2-3x+1) - 6| = |2x^2-3-5| = |2x^2+2x-5x-5| = |2x(x+1) -5(x+1)| = |(2x-5)(x+1)|

Das habe ich, aber ich weiß nicht, wie ich die Aufgabe zuende bringen kann...   ─   user7e6d2d 10.05.2022 um 12:53
Okay, sehr gut, jetzt können wir \(|x+1|<\delta\) abschätzen, wir haben also \(|f(x)-a|=\ldots <|2x-5|\delta\).
  ─   mathejean 10.05.2022 um 13:27
Okay vielen Dank! Können Sie mir auch die c) erklären? Dann habe ich alle Varianten einmal durchgerechnet.   ─   user7e6d2d 10.05.2022 um 19:56
Dort habe ich: |f(x)-5| = |(x^2-3x+2)/(x+5) -5|   ─   user7e6d2d 10.05.2022 um 19:59
Wie kommst du denn auf -5, ich lese 0. Ansonsten Zähler faktorisieren   ─   mathejean 10.05.2022 um 20:05
d.h. x^2-3x+2 = x^2-x-2x+2 = x(x-1)-2(x-1)=(x-2)(x-1) ?

und was passiert mit dem Nenner?   ─   user7e6d2d 10.05.2022 um 20:24
bin auf die Lösung |f(x)| < ((x-1)/(x+5)) * δ gekommen.. stimmt das?   ─   user7e6d2d 10.05.2022 um 20:32
Nenner bleibt so, weil wir können wieder \(|x-2|<\delta \) abschätzen. Das ist immer erstes Ziel, danach den Rest abschätzen   ─   mathejean 10.05.2022 um 20:33

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