Unterschied Jacobi, Gramsche Determinante, Normalbereiche

Aufrufe: 495     Aktiv: 22.01.2022 um 21:56

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Hi, wir haben 3 verschiedene Arten gelernt um Oberflächen/Volumenintegrale zu berechnen. Jedoch weiß ich nicht genau wann ich was benutzen muss.

Wir haben einerseits Mengen als Normalbereiche geschrieben und dann mittels dem Satz vom Fubini (meistens) das Integral ausgrechnet:

Bsp.
$E=\{x\in\mathbb{R}^2$ mit $||x||<1\} \Rightarrow $ der Normalbereich ist dann $\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$ mit $|x_1|<1 \land |x_2|<\sqrt{1-x_1^2}\}$
Und dann eben ein Doppeltes Integral mit den jeweiligen Grenzen.

Dann hatten wir mit dem Transformationssatz das folgende Integral definiert:

$\int\limits_{g(A)}f(y)dy=\int\limits_{A}f(g(x))|\det J_g(x)|dx$ mit der Transformation g.

Zuletzt hatten wir noch das Oberflächenintegral als

$\int\limits_{W}f(x)dS(x)=\int\limits_{U}f(\Psi(y))\sqrt{g(y)}dy$ definiert, mit $g(y) = \det J_{\psi}(x)^TJ_{\psi}(x)$

Ich verstehe nun nicht wann ich welches nehmen muss. Vorallem den Unterschied zwischen den letzten beiden hab ich noch nicht ganz kapiert.
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