Das Folgenkriterium lautet:
Eine Funktion \(f\colon \mathbb R \to \mathbb R\) ist stetig in einer Stelle \( a\in \mathbb R\) \(\Longleftrightarrow \) für jede Folge \( (x_n) \) in \( \mathbb R\) mit \( \lim _{n\to \infty} x_n =a\) gilt, dass \( \lim _{n\to \infty} f(x_n)=f(a)\).

Beachte, dass die Aussage auf der rechten Seite für alle Folgen \( (x_n) \) in \( \mathbb R\) gelten muss.

Ich denke am besten kann man sich das an Beispielen veranschaulichen. Sei die Funktion \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\), gegeben durch
\[  f(x) = \begin{cases} 0  & \text{für }x\leq 0 \\ 1 & \text{für }x>0 . \end{cases} \]
Diese Funktion ist offensichtlich nicht stetig in \( 0\). Doch wie hängt das mit dem Folgenkriterium zusammen?

Betrachten wir die Folge \( x_n= -\frac 1n \), die von unten gegen \( 0\) konvergiert. Dann ist
\[  \lim _{n\to \infty} f(x_n)= \lim _{n\to \infty}  0 = 0 = f(0) .\]

Das Folgenkriterium liefert uns mit dieser Folge also nicht die Unstetigkeit. Wie aber oben erwähnt, müsste die Aussage für jede Folge \( x_n\) in \( \mathbb R\) gelten, damit \( f\) in \( 0 \) stetig wäre. Betrachten wir nun die Folge \( x_n = \frac 1n\), dann sehen wir nämlich, dass
\[ \lim _{n\to \infty} f(x_n)= \lim _{n\to \infty}  1=1 \neq f(0) .\]

Ich hoffe das hilft dir für das Verständis weiter.