Konzept Folgenkriterium Funktionenstetigkeit

Aufrufe: 66     Aktiv: 06.02.2021 um 12:35

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Guten Morgen,

Ich kann mir grafisch nicht vorstellen, wie das Folgenkriterium für den Beweis der Stetigkeit einer Funktion funktioniert.
Wenn eine Funktion unstetig ist, gibt es eine Sprungstelle x, wo die Funktion durch f(x) definiert ist (z.B. in diesem Fall soll der Punkt (x|f(x)) dem 'rechten' Teil zugehören).  
Dann wird angenommen, dass es eine Folge (xn) gibt, die gegen dieses bestimmte x konvergiert (eine Folge aus x-Werten, die von +unendlich (rechts) nach x konvergiert). Bis hier verstehe ich es (glaube ich).
Anschliessend heisst es, dass f(lim xn) (=f(x)) nicht mit lim f(xn) übereinstimmt. xn ist ja unsere Folge, die von rechts gegen x konvergiert. Warum konvergiert dann f(xn) nicht gegen f(x)? Wie soll man sich diesen lim f(xn) vorstellen?
Die Unstetigkeit müsste man ja von links gegen x zeigen, aber f(xn) hat doch nichts mit dem linken Teil zu tun, sondern das sind nur die Funktionswerte der Folgeglieder, die von rechts gegen x konvergieren. Oder ist damit eine andere Folge gemeint, die von links gegen den selben x-Wert konvergieren soll (aber nicht dort ankommt)?
Was habe ich hier falsch verstanden? Ich habe echt überall nach einer Erklärung gesucht, aber es ist wahrscheinlich so offensichtlich, dass das niemand wirklich ausführlich erklärt. 
Ich kann gut mit der Definition rechnen aber ich würde es gerne intuitiv verstehen, vielleicht kann mir ja jemand dabei helfen :)

Vielen Dank im Voraus!!

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Das Folgenkriterium lautet:
Eine Funktion \(f\colon \mathbb R \to \mathbb R\) ist stetig in einer Stelle \( a\in \mathbb R\) \(\Longleftrightarrow \) für jede Folge \( (x_n) \) in \( \mathbb R\) mit \( \lim _{n\to \infty} x_n =a\) gilt, dass \( \lim _{n\to \infty} f(x_n)=f(a)\).

Beachte, dass die Aussage auf der rechten Seite für alle Folgen \( (x_n) \) in \( \mathbb R\) gelten muss.

Ich denke am besten kann man sich das an Beispielen veranschaulichen. Sei die Funktion \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\), gegeben durch
\[  f(x) = \begin{cases} 0  & \text{für }x\leq 0 \\ 1 & \text{für }x>0 . \end{cases} \]
Diese Funktion ist offensichtlich nicht stetig in \( 0\). Doch wie hängt das mit dem Folgenkriterium zusammen?

Betrachten wir die Folge \( x_n= -\frac 1n \), die von unten gegen \( 0\) konvergiert. Dann ist
\[  \lim _{n\to \infty} f(x_n)= \lim _{n\to \infty}  0 = 0 = f(0) .\]

Das Folgenkriterium liefert uns mit dieser Folge also nicht die Unstetigkeit. Wie aber oben erwähnt, müsste die Aussage für jede Folge \( x_n\) in \( \mathbb R\) gelten, damit \( f\) in \( 0 \) stetig wäre. Betrachten wir nun die Folge \( x_n = \frac 1n\), dann sehen wir nämlich, dass
\[ \lim _{n\to \infty} f(x_n)= \lim _{n\to \infty}  1=1 \neq f(0) .\]

Ich hoffe das hilft dir für das Verständis weiter.

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