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Die Aufgabe erfordert etwas Durchhaltevermögen und sorgfältiges Rechnen. Hab mich dabei auch etliche Male verrechnet.
Anleitung:
Ausgangspunkt: A: \(\sum\limits_{n=0}^\infty x^n = \frac1{1-x}\).
1. Leite die Gleichung in A nach x ab. Notiere das Ergebnis (beide Seiten der Gleichung!).
2. Leite nochmal nach x ab. Notiere das Ergebnis. Ziehe die Summe auseinander (ausmultiplizieren) und erhalte fast die gewünschte Summe minus fast die Summe aus der ersten Ableitung.
3. Stelle nach der gewünschten Summe um.
Hinweis: unpassende Potenzen von x macht man durch Multiplikation oder Division mit bzw. durch geeignete Potenzen von x passend (geht, solange der Exponent fest, also ohne n ist).
Nochmal: Bei Rechenfehlern nicht aufgeben, sondern in Ruhe nochmal rechnen.
Also, fang mal an und berichte von den Ergebnissen.
Anleitung:
Ausgangspunkt: A: \(\sum\limits_{n=0}^\infty x^n = \frac1{1-x}\).
1. Leite die Gleichung in A nach x ab. Notiere das Ergebnis (beide Seiten der Gleichung!).
2. Leite nochmal nach x ab. Notiere das Ergebnis. Ziehe die Summe auseinander (ausmultiplizieren) und erhalte fast die gewünschte Summe minus fast die Summe aus der ersten Ableitung.
3. Stelle nach der gewünschten Summe um.
Hinweis: unpassende Potenzen von x macht man durch Multiplikation oder Division mit bzw. durch geeignete Potenzen von x passend (geht, solange der Exponent fest, also ohne n ist).
Nochmal: Bei Rechenfehlern nicht aufgeben, sondern in Ruhe nochmal rechnen.
Also, fang mal an und berichte von den Ergebnissen.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K
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Genau das war ja auch meine Idee. Wissen Sie zufällig wann man bei Reihen Differenation und Summe vertauschen darf dass würde mich jetzt irgendwie interesieren.
─
finn2000
13.07.2021 um 23:27
Weil darauf beruhen ja unsere Ansätze/Lösungen.
─
finn2000
13.07.2021 um 23:27
Naja, wenn ich jetzt nach deiner Anleitung gehe sieht das so aus:
1.\sum\limits_{n=0}^\infinity nx^(n-1) = \frac1{(1-x)^2}
2. \sum\limits_{n=0}^\infinity n^2 x^(n-2) - nx^(n-2) = \frac2{(1-x)^3}
Ich weiß nicht genau wie hier die Eingabe sein muss, damit das richtig angezeigt wird
─ user4e3d2f 14.07.2021 um 08:02
1.\sum\limits_{n=0}^\infinity nx^(n-1) = \frac1{(1-x)^2}
2. \sum\limits_{n=0}^\infinity n^2 x^(n-2) - nx^(n-2) = \frac2{(1-x)^3}
Ich weiß nicht genau wie hier die Eingabe sein muss, damit das richtig angezeigt wird
─ user4e3d2f 14.07.2021 um 08:02
Aber wie genau ziehe ich jetzt die summe auseinander?
─
user4e3d2f
14.07.2021 um 08:04
Also hätten wir dann Σ n^2 x^(n-2) - Σ nx^(n-2). Und wie sieht dann Schritt 3 aus? Den hab ich noch nicht ganz verstanden
─
user4e3d2f
14.07.2021 um 11:30
Ja das eine ist die Reihe aus der Aufgabe nur mit n-2 im Exponenten und die andere ist die Reihe die wir nach der ersten Abkeitung haben mit n-2 statt n-1 im Exponent
─
user4e3d2f
14.07.2021 um 11:38
Das war ja mein Problem, ich weiß gerade nicht wie es weiter gehen soll. Wie soll ich das jetzt nach der gewünschten Summe umstellen?
─
user4e3d2f
14.07.2021 um 12:06
Wenn ich umstelle erhalte ich folgendes:
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n^2 x^{n-2}} \) = \( \frac{2}{(1-x)^3} \) + \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{nx^{n-2}} \)
Aber wie bekomme ich daraus die gesuchte Summe? ─ user4e3d2f 14.07.2021 um 12:35
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n^2 x^{n-2}} \) = \( \frac{2}{(1-x)^3} \) + \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{nx^{n-2}} \)
Aber wie bekomme ich daraus die gesuchte Summe? ─ user4e3d2f 14.07.2021 um 12:35
Ich verstehe nicht was genau mir der Hinweis sagen soll. Könntest du mir das bitte mal schrittweise zeigen wie es da jetzt weitergeht, damit ich das nachvollziehen kann?
─
user4e3d2f
14.07.2021 um 13:29
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
