Grenzwerte von Wurzelausdrücken und Wurzelfolgen

Aufrufe: 107     Aktiv: 08.12.2021 um 08:40

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Ich habe hier 2 Teilaufgaben, mit denen ich nicht klar komme:
1. $ a> 0$ zz: $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1$
2.Sei $a_n$ eine nicht-negative Folge mit dem Grenzwert a>0, zz: $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}=a$

Ich hab leider nur zu 1 einen Ansatz:
$\sqrt[n]{a} = a^{\frac {1}{n}}$, also ist $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a} = \lim\limits_{n\to\infty} a^{\frac {1}{n}} = a^0 = 1$, reicht das so aus, oder muss man das Potenzgesetz nochmal extra beweisen?
Bei 2 komme ich leider nicht weiter und ich finde auch keinen passenden Ansatz.
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Der Knackpunkt bei 1) ist nicht das Potenzgesetz, sondern, dass du den Limes einfach in den Exponenten ziehst. Das darfst du, sollte aber vorher bewiesen worden sein. Alternativ zeige, dass \((\sqrt[n]{a}-1)_n\) eine Nullfolge ist.   ─   mathejean 07.12.2021 um 19:55

Danke für deine Antwort.
Ich habe mir mal den Beweis, dass $(\sqrt[n]{a} -1)_n$ eine Nullfolge ist, mal hier: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Grenzwert:_Beispiele angeschaut, aber ich muss ehrlich zugeben, dass ich da nicht wirklich durchsteige. Gibt es einen einfacheren Weg sowas zu beweisen, z.B. direkt mit der Bernoulli Ungleichung, ohne dieses ganze Zeug mit dem Epsilon?
  ─   alex_m32pt 07.12.2021 um 20:34

Wenn man Epsilontik umgehen will, ist es eine gute Idee, die Folge mit einer anderen Nullfolge zu majoranisieren. Das wurde im zweiten Fall. Im ersten Fall wurde einfach festgestellt, dass "irgendwann" \((1+\varepsilon)^n\) größer als \(c\) ist. Das kannst du gerne auch mal selber mit bestimmten Werten ausprobieren   ─   mathejean 08.12.2021 um 08:40
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