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Hallo,

ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe: 

Seien \( X_1, X_2, X_3 \) stochastisch unabhängig, normalverteilte Zufallsvariablen mit \( E(X_1)=10, E(X_2)=15, E(X_3)=20 \)

Berechnen Sie die Kovarianz \( cov(X_2,\bar X) \).

Die Lösung ist: \( cov(X_2,\bar X) = cov (\frac {1} {3} \cdot(X_1+X_2+X_3),X_2) \)
\( =\frac {1} {3} cov(X_1,X_2)+\frac {1} {3} cov(X_2,X_2)+\frac {1} {3} cov(X_2,X_3)   \) etc.
Es wurde gesagt, dass \( =\frac {1} {3} cov(X_1,X_2)  \text {und} \frac {1} {3} cov(X_2,X_3) = 0  \) ist wegen der stochatischen Unabhängigkeit und ich verstehe nicht weshalb das Null sein soll. 

Ich bin für jede Hilfe dankbar.
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gefragt

Student, Punkte: 25

 

Was ist denn die Zufallsvariable \(X\) bzw. \(\overline X\)   ─   gerdware 06.07.2021 um 12:01

Oh, ansonsten war noch \( V(X_1)=1, V(X_2)=4, V(X_3)=9 \) gegeben. \( \bar X \) müsste \( \frac {1} {3}(10+15+20) = 15 \) sein. Und die einzelnen X waren nicht gegeben nur \( E(X_1)=10, E(X_2)=15, E(X_3)=20 \)

Edit: ich glaube ich habe es. Liegt es daran, dass die Kovarianz den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen angibt und dadurch, dass die unabhängig sind, besteht gar kein Zusammenhang und ist deshalb 0?
  ─   wuseldusel123 06.07.2021 um 12:12
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1 Antwort
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Sind \(X\),\(Y\) unabhängige ZV, dann gilt
\[\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y].\]
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geantwortet

Student, Punkte: 380

 

Die Formel kenne ich. Allerdings weiß ich gerade nicht wie man damit auf \( =\frac {1} {3} cov(X_1,X_2) \text {und} \frac {1} {3} cov(X_2,X_3) = 0 \) kommt. Bzw. in welchem Zusammenhang das gerade steht. Hab mich allerdings auch beim Titel vertan und es geht in dem Sinne auch nicht um zwei Zufallsvariablen X und Y, sondern nur X.   ─   wuseldusel123 06.07.2021 um 16:07

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Ob du die ZV \(X,Y\) oder \(X_1,X_2\) nennst ist ja egal. Es kommt nur darauf an, dass hier Unabhängigkeit vorliegt. Wie ist denn die Kovarianz definiert? Schreib dir das mal auf und prüfe, ob/wie dir die obige Gleichung helfen kann.   ─   orbit 06.07.2021 um 16:35

Ach, jetzt hab ich es! Vielen Dank dir, da hätte man echt drauf kommen können.   ─   wuseldusel123 06.07.2021 um 17:36

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