Beweis von LiNa II Eigenwerte und Charakteristisches Polynom

Aufrufe: 205     Aktiv: 24.07.2023 um 16:06

0
Hallo zusammen,

ich wollte euch mal Fragen, ob jemand ein einfachen Beweis für " λ ∈ K ist Eigenwert von A ∈ Mn(K) ⇐⇒ λ ist Nullstelle von PA(X) ∈ K[X]." hat. Ich habe Donnerstag eine mündliche Prüfung und ich wüsste nicht wie ich das beweisen könnte.

Ich würde mich um eine Antwort freuen

LG
gefragt

Student, Punkte: 16

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1

Sei $I$ die Einheitsmatrix.$P_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$. Falls $\lambda$ ein Eigenwert ist, also 

$$ Av=\lambda v \iff v \in \ker(A-\lambda I) $$

für ein $v\neq 0$, so ist die Matrix $A-\lambda I$ singulär und somit $\det(A-\lambda I)=0$. Umgedreht, falls die Matrix $A-\lambda I$ singulär ist, so hat das Gleichungssystem $(A - \lambda I)v=0$ eine nicht-triviale Lösung, "den" Eigenvektor $v$ mit Eigenwert $\lambda$.

Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 592

 

Kommentar schreiben