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Der Titel sagt schon das meiste. Bei uns wurde das nur im mehrdimensionalen über Eigenwerte gezeigt. Banachscher Fixpunktsatz? Aber wie? Mir fehlt hier der Ansatz.
Zuerst den Banachschen Fixpunktsatz nachschlagen. Dort sind zwei Voraussetzungen genannt. Diese überprüfen für $\varphi$. Fang damit an und melde Dich, wenn es Probleme gibt. Aber fang an.