Du hast Recht, wenn man allgemein (!) den Abstand zweier Geraden berechnet, ist das immer der kürzeste Abstand (ist so definiert). Bei der Bewegungsaufgabe liegt allerdings etwas anderes zu Grunde, denn: Bei solchen Aufgaben hat der Parameter meist eine "zeitliche" Bedeutung, das heißt, du interessierst dich NICHT für den Abstand der Flugbahnen, sondern für den Abstand der beiden Flugzeuge zum SELBEN ZEITPUNKT. Das geht aber in der Tat nur über die Extrempunktbestimmung, indem man den Verbindungsvektor der beiden Flugzeuge zu jedem Zeitpunkt $t$ bestimmt (das ist der Parameter, der dann für BEIDE Geradengleichungen genutzt wird). Dieser Länge dieses Vektors wird dann mit den Methoden der Analysis minimiert. 

Tipp: Wenn $f(x)=\sqrt{g(x)}$ eine Funktion ist, die minimiert werden soll, dann reicht es, die Extremstelle mit Hilfe der Funktion $f^2(x)=g(x)$ zu berechnen (aufgrund der Monotonie der Wurzelfunktion).