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Aufrufe: 41     Aktiv: vor 2 Tagen, 16 Stunden

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Hallo, 

ich kann nicht ganz nachvollziehen, warum diese Gleichung so ist wie sie ist:

was genau wurde gemacht damit das q^n vor dem Summenzeichen kommt und dann auch noch als Faktor. Danke schonmal für jede Antwort:)

lg 

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Zur Verdeutlichung kannst du für die zweite Summe eine Hilfsvariable/-index substituieren, man wähle \(m := k-n\) sodass \(m \ge 0 \;\Leftrightarrow\; k \ge n\).
Löst man die erste Gleichung nach \(k\) auf, so erhält man \(k = m + n\), daher wird der Summand von der äquivalenten Summe über \(m\) zu \(q^{n+m}\), damit dürfte die Umformung klar sein.
Nochmal zusammen:
\[\sum_{k\ge n} q^k \overset{m := k - n}{=} \sum_{m\ge 0} q^{n + m} = q^n \sum_{m\ge 0} q^m\]
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Student, Punkte: 665
 

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Bei solchen Umformungen ist meist alles geklärt, wenn man die Summen ausschreibt. Das Summenzeichen ist ja nur ein Abkürzungssymbol und nichts neues.
Also, schreib die Summen links und rechts mal aus.
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Lehrer/Professor, Punkte: 12.99K
 

Links wäre ja: q^n+q^n+1+q^n+2+.....+q^k und rechts wäre doch q^n*(q^1+q^2+.....+q^k) oder ?   ─   einmaleins vor 2 Tagen, 17 Stunden

also links hast du dann ja nach k-schritten \(q^{k+n}\)   ─   michael joestar vor 2 Tagen, 17 Stunden

Die Summe rechts startet mit k=0.. Und die Summen laufen nicht bis k, sondern bis unendlich. Und, ist damit nicht alles klar? Kannst Du rechts ausmultiplizieren? Kennst Du die Potenzrechenregeln?   ─   mikn vor 2 Tagen, 17 Stunden

D.h. (Schreibweise kommt öfter vor): Summiere über alle k, die >=n sind. (bzw. >=0 rechts).   ─   mikn vor 2 Tagen, 17 Stunden

Achso und weil die Summe bis unendlich geht, ist es egal welcher Summand als letztes steht? Ich frage mich nämlich, was der letzte Summand wäre, q^unendlich?
Ausmultipliziert wäre der rechte Ausdruck q^n+q^n+1+q^n+2+.....+q^k+q^k+n (aber Du sagst ja unendlich...;das ist mir noch nicht ganz klar...)
  ─   einmaleins vor 2 Tagen, 17 Stunden

Es steht nichts dabei wie weit die Summe läuft, nur wo sie startet (l.S.: bei n, r.S.: bei 0). Wenn nichts dabei steht, geht man davon aus, dass über alle k, die in Frage kommen, summiert wird. Es gibt dann keinen letzten Summanden. Für die Summe auf der l.S. schreibt man auch \(\sum\limits_{k=n}^\infty q^k\). Per Def. meint man damit \(\sum\limits_{k=n}^\infty q^k := \lim_\limits{m\to\infty} \sum\limits_{k=n}^m q^k\).
Der Grenzwert muss nicht existieren, in diesem Fall ex. er, wenn \(|q|<1\) (geometrische Reihe).
  ─   mikn vor 2 Tagen, 16 Stunden

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du kannst ja mal Zahlenwerte fur k, n, q einsetzen und rechnen ob das stimmt
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