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Zur Verdeutlichung kannst du für die zweite Summe eine Hilfsvariable/-index substituieren, man wähle \(m := k-n\) sodass \(m \ge 0 \;\Leftrightarrow\; k \ge n\).
Löst man die erste Gleichung nach \(k\) auf, so erhält man \(k = m + n\), daher wird der Summand von der äquivalenten Summe über \(m\) zu \(q^{n+m}\), damit dürfte die Umformung klar sein.
Nochmal zusammen:
\[\sum_{k\ge n} q^k \overset{m := k - n}{=} \sum_{m\ge 0} q^{n + m} = q^n \sum_{m\ge 0} q^m\]
Löst man die erste Gleichung nach \(k\) auf, so erhält man \(k = m + n\), daher wird der Summand von der äquivalenten Summe über \(m\) zu \(q^{n+m}\), damit dürfte die Umformung klar sein.
Nochmal zusammen:
\[\sum_{k\ge n} q^k \overset{m := k - n}{=} \sum_{m\ge 0} q^{n + m} = q^n \sum_{m\ge 0} q^m\]
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