E-Funktion, Analysis, Tangente, Exponentialfunktion

Aufrufe: 39     Aktiv: 26.05.2021 um 04:44

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Hallo Zusammen,

ich habe bald meine Mathe Prüfung und verstehe leider kaum, wie man mit Exponentialfunktionen umgehen muss. Ich habe mir schon einige Erklärungen durchgelesen und angeguckt doch leider bilden sich nur Fragezeichen. Ganz schlimm ist die Tangentenrechnung einer e-Funktion die ich am wenigsten nachvollziehen kann.
Daher würde ich wirklich sehr dankbar sein, wenn mir jemand für (Mathe-Looser:/ ) ganz leicht das wichtige über E-Funktion erklärt. Es wäre super, wenn Sie mit einer Beispielaufgabe zusätzlich Rechnung und Lösung mir alles erklären, denn so kann ich es am besten verstehen. 
Ich habe im Internet schon nach einigen Aufgaben gesucht aber scheint mir nicht wirklich geholfen zu haben, wissen sie vielleicht wo man im Internet e Funktions Aufgaben direkt auch mit der Lösung findet? 
Danke im voraus 😊
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Punkte: 10

 

Zunächst kann ich für Beispielaufgaben frühere Abituraufgaben empfehlen, da findet man auch immer gleich Lösungen, aber eine Zusammenfassung mache ich gleich per Antwort   ─   cedricr 26.05.2021 um 03:22

Ich danke vielmals   ─   asl.aks 26.05.2021 um 03:30

und geh pennen, wenn du bald Prüfung schreibst ist Schlaf wichtig xD   ─   cedricr 26.05.2021 um 04:29

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1 Antwort
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Funktionsgleichung
Wie startet man mit e-Funktionen? Nun ja, beginnen wir mal mit den grundlegenden Basics, wie ist eine e-Funktion überhaupt aufgebaut? 
Die Standard e-Funktion ist \(y=e^x\). Allgemeiner gefasst findet man diese auch als \(y = a \cdot e^{bx} + c\). 
In deiner Prüfung wird die Funktion aber wahrscheinlich noch etwas schwerer definiert sein, als Verschachtelung von Funktionen, also \( y = f(x) \cdot e^{g(x)}\). Wobei \(f(x)\) und \(g(x)\) ganz beliebige Funktionen sein können (alle die du bisher hattest).


Ableitung
Der wohl wichtigste Part von der Analysis ist die Differentialrechnung, oder einfacher gesagt, das Bilden von Ableitungen. 
Ganz zu Beginn das besondere der e-Funktion; Die Ableitung von \(e^x\) bleibt \(e^x\). Anders bei den allgemeineren Formen:
Ich setzte mal vorraus, dass du die gängigen Ableitungsregeln, speziell Produktregel und Kettenregel, beherrschst (ansonsten unbedingt nochmal angucken), denn diese brauchen wir jetzt, als Wiederholung:
Produktregel: \((u \cdot v)' = uv' + u'v\) 
Kettenregel: \(u(v(x))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)\)

Diese nutzen wir jetzt für die allgemeine Funktion \(y = a \cdot e^{bx} + c\):
Durch die Konstantenregel und die Summenregel erhalten wir bereits \(y' = a \cdot (e^{bx})'\). Also brauchen wir die Ableitung von \(e^{bx}\). Diese wird durch die Kettenregel bestimmt. \(u(v) = e^v\) und \(v(x)=bx\).
Das wenden wir jetzt an; Die Ableitung von \(u(v)\) lautet immer noch \(e^v\) und die Ableitung von \(v(x)\) ist nur \(b\).
Es folgt also die Ableitung \(y' = a \cdot (e^{bx}\cdot b) = ab \cdot e^{bx}\)

Um es jetzt wirklich zu vollenden nehmen wir uns noch \( y = f(x) \cdot e^{g(x)}\) vor. Es wird sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel genutzt. Angefangen bei der Ableitung von \(e^{g(x)}\), diese funktioniert genauso wie eben, wir setzen \(u(v) = e^v\) und \(v(x)=g(x)\). Damit folgt die Ableitung \((e^{g(x)})' = g'(x) \cdot e^{g(x)}\). Damit sind wir aber noch nicht durch, denn wir wollen ja die Ableitung von \(y\), da benötigen wir die Produktregel und setzen \(u=f(x)\) und \(v=e^{g(x)}\), es folgt \(u'=f'(x)\) und \(v'=g'(x) \cdot e^{g(x)}\). Mit den Bausteinen bauen wir jetzt die endgültige Ableitung; \(y' = uv' + u'v = f(x) \cdot g'(x) \cdot e^{g(x)} + f'(x)\cdot e^{g(x)}\), was jetzt noch gerne gemacht wird, ist die komplex wirkende Ableitung zu vereinfachen, indem wir \(e^{g(x)}\) ausklammern: \(y' = e^{g(x)} \cdot (f(x) \cdot g'(x) + f'(x))\).

Einmal ein Beispiel dazu (Mathe Abi 2020 Bayern): \(y=0.7x\cdot e^{0.5x} - 0.7\):
Die Ableitung davon ist wie folgt zu berechnen:
Die \(- 0.7\) am Ende werden weggestrichen, da sie durch die Summenregel wegfallen. Demnach ist nur die Ableitung von \(0.7x \cdot e^{0.5x}\) gesucht. Wir nutzen die Gleichung von oben und setzen \(f(x) = 0.7x\) und \(g(x) = 0.5x\) bzw. \(f'(x) = 0.7\) und \(0.5\) es folgt die Ableitung \(y' = e^{0.5x} \cdot (0.7x \cdot 0.5 + 0.7) = e^{0.5x} \cdot (0.35x + 0.7)\).


Tangenten
Tangenten sind bei expotentiellen Funktionen nichts anderes als bei normalen Funktionen. Ich nehme mal das Beispiel \(f(x)  = (x^2+6x+9) \cdot e^{x^2-4}\), wir versuchen jetzt eine Tangente durch den Punkt P(-2|1) zu bilden. 
Tangenten haben die Gleichung \(y = mx + b\), dabei ist \(m\) die Steigung. Also brauchen wir die Steigung an der Stelle -2. Dafür brauchen wir die Ableitung, die Herleitung überlasse ich dir mal für Übungszwecke xD \(f'(x) = e^{x^2-4} \cdot (2x^3 + 12x^2 + 20x + 6)\)
Wir wissen also, dass \(m = f'(-2) = -2\). Also auch, dass \(y = -2x + b\). Jetzt setzen wir den Punkt P in die Tangentengleichung ein (da der Punkt ja auf der Tangente liegen muss) und es folgt die Gleichung \(1 = -2 \cdot -2 + b\), demnach ist \(b=-3\). Insgesamt haben wir nun die Tangentengleichung \(y = -2x -3\).


Nullstellen
Der letzte wichtige Punkt im Bereich der e-Funktion ist das lösen von Gleichungen allgemein nehme ich dafür das berechnen von Nullstellen. Neben den bekannten Verfahren wie pq-Formel, Satz des Nullproduktes oder anderes, kommt nun noch das lösen durch Logarithmus hinzu. Ich empfehle da, wenn dir das nicht bekannt ist, dich nochmal seperat zu informieren, das würde hier den Rahmen sprengen. Ich rechne einfach mal ein Beispiel zu und genaueres würde ich an deiner Stelle wo anders gucken.

Beispielgleichung:
\( 0 = 2\cdot e^{x^2} - 4\)
\( 4 = 2\cdot e^{x^2} \)
\( 2 = e^{x^2} \)
\( \ln(2) = \ln(e^{x^2})\)
\( \ln(2) = x^2\)
\( \pm \sqrt{\ln(2)} = x\)
=> \(x \approx\pm 0.832 \)

Schlusswort
Ich hoffe, dass ich helfen konnte, bei weiteren Fragen, sag Bescheid und ich kann nur empfehlen, dass du dir ehemalige Abiturprüfungen zu e-Funktionen anguckst, dort ist auch immer eine Lösung mit dabei.

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Schüler, Punkte: 266
 

Ich kann dir nicht beschreiben wie dankbar ich bin.
Werde jz auch schlafen gehen 😊
  ─   asl.aks 26.05.2021 um 04:44

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