Restkörperberechnung Kugel(schicht)

Aufrufe: 269     Aktiv: 17.02.2023 um 10:08

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In eine volle Stahlkugel wird eine Nut eingefräst (siehe Abbildung).
Frage: Wie groß ist das Volumen des Restkörpers?

Der Lösungsansatz wäre ja, zunächst das Volumen der Kugel zu berechnen (in diesem Fall wäre das 33.510,322 cm^3. Davon müsste dann der Teil einer Kugelschicht abgezogen werden.

Meine Frage zur Berechnung der Kugelschicht: Wie komme ich zu den gleichen Durchmessern D1/D2 von 34,64 cm (gem. Musterlösung)? Die Höhe ist ja mit 20 cm angegeben.
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Die 17 cm in der Zeichnung sind nicht exakt. Rechne anhand meiner Skizze diesen Wert noch einmal nach, dann erkennt man die 34,64 cm.
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Ah ok, das kann sein. Dann komme ich sofort auf den Wert, vielen Dank! An der 17 bin ich nämlich auch gescheitert...

Nur die Musterlösung konnte ich nicht ganz nachvollziehen:
Die rechnen zuerst mit dem Höhensatz: x (40-x) = 10^2 cm
Dann wäre x = 2,68 cm. (Soweit noch ok)
Aber dann berechnen sie y: 20 cm - 17 cm - 2,68 cm = 0,32 cm ??
Und dann den Durchmesser: 2 (17 cm + 0,32 cm) = 34,64 cm

Mit dem Durchmesser wird dann die gesamte Kugelschicht berechnet, ergäbe 11.305,805 cm^3. Und dann berechnen sie dieses Ergebnis proportional *17 / 34,64. Und dieser Wert wird dann von dem Gesamtkugelvolumen abgezogen.
  ─   jgu 16.02.2023 um 17:57

die beiden Teile links und rechts über dem "Äquator" ergeben zusammen ein Kugelsegment der Höhe 10 cm. Das läßt sich berechnen. Dann noch die unter Halbkugel hinzu rechnen. Das wäre mein Ansatz. Ich komme auf 11519 cm³ für das Kugelsegment und auf 28274 cm³ für den Gesamtkörper.   ─   mpstan 16.02.2023 um 18:20

Ok, die Musterlösung gibt folgende Werte an:
Volumen der Kugel: pi / 6 * 40^3 = 33.510,322 cm^3
Volumen der Kugelschicht: pi * 20/24 (6 * 34,64^2 + 4 * 20^2) = 23.037,24 cm^3
Volumen der Fräsung: 23.037,24 * 17/34,64 = 11.305,805 cm^3
Und dann das gesuchte Restvolumen: 33.510,322 - 11.305,805 = 22.204,517 cm^3
  ─   jgu 16.02.2023 um 18:47

die 11519 cm³ für das Kugelsegment in meinem letzten Kommentar sind falsch, da hatte ich bei der Onlineberechnung für den Radius den Durchmesser angegeben. Onlinebrechnungen sind natürlich fraglich.
Bei der Musterlösung ist die Zeile " Volumen der Fräsung: 23.037,24 * 17/34,64 = 11.305,805 cm^3" ungenau. Das liegt aber an der ungenauen "17", da müsste die Hälfte von 34,64... stehen, das würde dann 0,5 als Faktor ergeben.
  ─   mpstan 17.02.2023 um 10:08

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