Rang und Dimension

Aufrufe: 39     Aktiv: 26.05.2021 um 12:13

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Kann mir jemand erklären was der Unterschied bzw. Zusammenhang zwischen Rang und Dimension ist? Danke!
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Student, Punkte: 14

 

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Hallo,

der Zeilenrang einer Matrix \( M \) ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren der Matrix. Der Spaltenrang ist analog die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren der Matrix. Man kann zeigen, dass Zeilenrang und Spaltenrang gleich sind. Das definiert man dann allgemein als Rang der Matrix. 

Welche Dimension meinst du hier? Eine Matrix mit \( m \) Zeilen und \( n \) Spalten hat die Dimension \( m \times n \). 
Nun hat auch ein Vektorraum eine Dimension. Da eine Matrix eine Abbildung ist, bildet ihr Bildraum einen Vektorraum. Dieser hat auch wieder eine Dimension. Außerdem bilden alle Vektoren die auf den Nullvektor abgebildet werden ebenfalls einen Vektorraum. Auch diesem können wir wieder eine Dimension zuordnen. 
Diese beiden Dimensionen hängen mit dem Rang der Matrix zusammen. Die Dimension des Bildraums ist gleich dem Rang der Matrix. Die Dimension des Kerns ist \(m - \mathrm{Rang}(M)\) (wobei \(m \) die Anzahl der Zeilen war). 

Grüße Christian

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