Konvergenz oder Divergenz?

Aufrufe: 233     Aktiv: 19.07.2023 um 23:37

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Hallo, 
ich bereite mich gerade auf die Klausurenphase vor und habe eine Frage zu einer Altklausur aus einem anderen WS, wozu es aber keine Lösungen gibt. 

Ich kann Aufgaben normalerweise lösen, wenn das k=0 oder k=1 ist, da wir das auch in der Übung hatten, aber bei anderen Werte wie 10 oder 10.000 habe ich keine Ahnung, wie man das rechnet. 
Beispielsweise die b,c oder d sind hier problematisch.
Wie geht man damit um?
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1 Antwort
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Moin,

da geht man ganz ruhig vor. Es gilt: $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k \text{ existiert/konvergiert }\\ \iff\\ \sum\limits_{k=n}^{\infty}a_k \text{ existiert/konvergiert }$$ Für ein beliebiges $n\in \mathbb{N}$. Das liegt daran, dass $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k= \sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k+\sum\limits_{k=n}^{\infty}a_k$$und $\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k < \infty$.
Eine andere Möglichkeit, dass zu sehen ist, dass in $\mathbb{R}$ Konvergenz äquivalent zur Eigenschaft ist Cauchy zu sein, und letzteres ist von den ersten endlich vielen Termen unabhängig.


Wir ignorieren also beim Prüfen auf Konvergenz, bei welchem Index wir starten:
Wir erinnern uns weiter, dass eine geometrische Reihe genau dann konvergiert, wenn $|q|<1$ in $\sum\limits_k q^k$. Nun können wir die Aufgaben bearbeiten:

(a) Was ist hier unser $q$? Ist $|q|<1$?
(b) Hier muss man kürzen - danach kann man $q$ ablesen und auf Konvergenz prüfen.
(c) Was ist hier $q$? Ist $|q|<1$?
(d) Der Summationsindex kommt gar nicht vor, hier kann man z.B. den Limes-Test verwenden.
(e) Wieder kürzen und verfahren wie bei (a), (b) und (c)

Kannst du damit alles lösen?

LG
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Ne, tut mir leid. Ich verstehe leider die Schritte auch nicht so ;) Das Auflösen ist auch manchmal schwer, zb bei der a)   ─   maxi1001 19.07.2023 um 22:55

Bei der (a) ist doch gar nichts aufzulösen, was meinst du? Und welche Schritte in meiner Argumentation kannst du nicht nachvollziehen?   ─   fix 19.07.2023 um 23:29

@maxi1001 was genau verstehst du denn nicht, kannst du das präzisieren? @fix hat dir sehr präzise Hinweise zu den einzelnen Teilaufgaben gegeben, hast du dazu schon mal versucht etwas aufzuschreiben? Mit „Kürzen“ sollte man doch was anfangen können. Auch zu deinem Problem mit dem Index wurde doch alles gesagt. Falls du nicht weiterkommst, lade deine Rechnung hoch.   ─   maqu 19.07.2023 um 23:37

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