In einem Körper gilt stets \( 0 \cdot a = 0 \) für alle \(a \in K\)

(denn: \( 0 \cdot a \) \( = 0 \cdot a + 0 \cdot a - 0 \cdot a \) \( = (0+0) \cdot a - 0 \cdot a \) \( = 0 \cdot a - 0 \cdot a = 0 \)).

Also kann es kein multiplikatives Inverses zum Nullelement geben

(denn: angenommen es gäbe solch ein Inverses \(0^{-1} \in K\), dann würde daraus sofort der Widerspruch \( 1 = 0 \cdot 0^{-1} = 0 \) folgen).

Da es in einer Gruppe aber zu jedem Element ein Inverses geben muss, wird das Nullelement bei der multiplikativen Gruppe eines Körpers ausgeschlossen.

Um welche Gruppe geht es hier? Eine Gruppe besteht aus einer Menge und EINER (nicht mehrere) Verknüpfung. Du darfst nicht zwei Gruppen mischen. Und die natürlichen Zahlen bilden weder mit + noch mit * eine Gruppe, und auch keinen Körper.

Ergänzung (weil Du in der Überschrift von einem Körper redest): Es ist nur \((K\setminus \{0\},\cdot)\) eine Gruppe, denn für \(0\) existiert kein multiplikativ Inverses \(0^{-1}\). Es müsste ja sonst \(0\cdot 0^{-1}=1\) gelten, aber das geht nicht, weil \(0\cdot x=0\neq 1\) ist für alle \(x\).