Hallo Zusammen :)

Meine frage handelt um Folgende Aufgabe :

Seien f_1, . . . , f_m : ℝ^n → ℝ (Borel)-messbare Funktionen und φ : ℝ ^m → ℝ eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass die Funktion F(x) = φ(f_1(x), . . . , f_m(x)) (Borel)-messbar ist.

Meine Idee:
Ich weiss (bzw habe eine Aufgabe vorher bewiesen) ,Dass jede stetige Funktion (Borel-) messbar ist, weil nach Stetigkeit das Urbild jeder offenen Menge wieder wieder offen ist. Da nach Definition das Mengensystem der offenen Menge einer Topologie ein Erzeugendensystem für eine sigma-Algebra der Borelmengen ist, ist die Funktion (Borel-)messbar. (Stimmt das soweit?)

Ich möchte nun anhand des obigen Statements die Brücke zu F(x) schlagen , wir wissen, das F(x) Stetig und aber auch das f_i mit i ∈{1,...,m} (Borel-) messbar also erzeugt von offenen Mengen. Klappt das jetzt, wenn ich sage , dass das Urbild F^{-1} einer offenen Menge wieder offen ist (müsste ja, da f_i (Borel-)messbar )? Und desshalb ist es wieder ein Erzeugendensystem von offenen Mengen und somit F (Borel-)messbar ?

Ich hoffe man kommt draus , was ich meine ?

Vielen Dank für die Hilfe