Ok, Du hattest die Aufgabenstellung in den Beweis gemischt. Trenne Beh. und Beweis eindeutig (sollte in der Vorlesung vorbildlich gemacht worden sein). Also in Deiner Lösung, erste Zeile: "Beh.:...", zweite Zeile: "Bew.:..."
a) ist im Prinzip in Ordnung, aber teilweise mischt Du nach dem $\implies$ Funktion und Funktionswert, es muss dann mit $(\varphi_A\circ \varphi_A)(x)=$ losgehen, mach Dir den Unterschied klar, der spielt oft eine wichtige Rolle.
Einfacher (weniger Schreibarbeit) wäre es auch, wenn Du direkt die Matrizen multiplizierst.
b) Das geht so nicht. Mach Dir klar was zu zeigen ist. Hier heißt das: " es gibt genau ein $u,v$ mit ....
Dein Beweis muss also erklären, was $u,v$ konkret ist. Dazu könntest Du erstmal $u,v$ aus den Anforderungen bestimmen (Stichwort Eigenvektor, wenn Du das nicht kennst, geht auch ohne).