Unmögliches Ereignis

Aufrufe: 52     Aktiv: 16.02.2021 um 14:09

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Liebes Forum,

angenommen man betrachtet einen regulären Würfel, der einmal geworfen wird.

Wenn man nun Ereignisse betrachtet, kann man diese ja in sicher, zufällig und unmöglich unterteilen.

Dabei gilt: A = {} als unmögliches Ereignis, mit P(A)=0.


Zudem gilt ja, dass ein Ereignis stets eine Teilmenge von Omega sein muss. In der Uni lernt man dann, dass die Ereignisalgebra zudem die leere Menge A enthält.

Was ich nun nicht verstehe: Sei B: "Es wird eine 9 geworfen."
Dann gilt offensichtlich P(B)=0. Allerdings ist B keine Teilmenge von Omega und auch kein Element der Ereignisalgebra ... Zudem ist doch B ungleich A oder nicht?

Ist dann strenggenommen B überhaupt kein Ereignis für den beschriebenen Zufallsversuch!? Auf der anderen Seite ist P(B)=0 ja in jedem Fall korrekt... HILFE!

Danke für eure Ideen...
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Oder ist B=A, da B kein Element aus Omega enthält und somit dann formal doch leer ist?   ─   handfeger0 16.02.2021 um 12:15

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2 Antworten
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Hey,

dadurch, dass die 9 kein Element deiner Ergebnismenge ist, kann sie auch kein Teil eines Ereignisses sein, denn Ereignisse sind Teilmengen der Ergebnismenge.

Die leere Menge ist aber Teilmenge jeder Menge, somit gehört sie auch entsprechend zu deiner Ereignis-Algebra.

Ich kann deine Gedanken absolut nachvollziehen.

Du schaust dir ja Ereignisse an, die Teilmenge der Algebra sind. Hier in diesem Fall würde man also die Potenzmenge der Ergebnismenge betrachten. Ich würde das Ereignis mit der verbalen Beschreibung "Eine 9 werfen" dann eben der leeren Menge zuordnen, da die 9 ja keine Teilmenge der Ergebnismenge ist, und dadurch wird dann eben auch die Wahrscheinlichkeit von 0 garantiert.

Aber ich bin offen für weitere Diskussionen :D

VG
Stefan

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Hm. Ja im Prinzip steckt da ja das drin, was ich vermutet habe... aber etwas komisch wirkt das schon für mich...

Kannst du mir vielleicht noch erklären, wofür man überhaupt einen Wahrcheinlichkeitsraum benötigt? Also ich meine Ergebnismenge und Maß sind klar. Aber wofür brauche ich die Sigma-Algebra? Liegt es daran, dass die Elemente darin Mengen sind? Und wir diese zum Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten brauchen?
  ─   handfeger0 16.02.2021 um 13:39

Genau die Sigma-Algebren sind wichtig für die Definition eines Maßes. Sie sind dort der Definitionsbereich des Maßes womit dann eben den einzelnen Mengen ein Volumen (hier die Wahrscheinlichkeit) zuordnet.   ─   el_stefano 16.02.2021 um 14:09

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Das ist eine sehr gute Frage!
Du hast vollkommen Recht, dass die Wahrscheinlichkeit nur für Teilmengen von \(\Omega\) definiert ist.

Trick: Du kannst dir eine Aussage also immer durch den Zusatz "und ist eine Teilmenge von \(\Omega\)" vervollstänidgen. 

Du kannst das Ereignis "eine 9 würfeln" jetzt also erweitern: "Eine 9 und ist in \(Omega\)". Diese Aussage ist nie richtig. Die entsprechnde Teilmenge, die das darstellt ist also die leere Menge.

Hoffe das hilft dir!
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