Wendepunkt kubisch

Erste Frage Aufrufe: 85     Aktiv: 09.09.2021 um 09:13

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Hallo, 

ich muss von der 2ten Ableitung von (x+1)/(x^2+1) die Nullstellen finden für die Wendepunkte. 

Abgeleitet ergibt sich 2x^3+6x^2-6x-6)/(x^2+1)^3

Wie komme ich jetzt auf die Nullstellen vom Zähler? 

Bin für jede Hilfe dankbar. 

lg
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Hast du schon mal von Polynomdivision gehört?   ─   mathematinski 08.09.2021 um 18:03
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Hallo!

Bei der Suche nach Nullstellen gibt es verschiedene Verfahren, die ihr sicher auch schon besprochen habt.

1) Haben alle Exponenten der Unbekannten einen gemeinsamen Teiler ungleich \(1\), dann kannst du Substitution anwenden.
Bsp.:
\( f(x)=5x^4-3x^2+7 \)
Substitution: \(z := x^2 \)
Statt \(x^2\) kannst du jetzt inmer \(z\) schreiben.
\( \Rightarrow f(z)=5z^2-3z+7 \)
Und da kannst du jetzt so rechnen wie sonst, beachten musst du nur die Rücksubstitution, jede Lösung für \(z\) gibt zwei Lösungen für \(x\), nämlich \(x_1=\sqrt{z} , x_2=-\sqrt{z}\).

2) Enthalten alle Summanden der Funktion die Unbekannte, dann kannst du faktorisieren, also ausklammern.
Bsp.:
\(f(x)=x^3+2x^2-3x
\Leftrightarrow f(x)=x(x^2+2x-3) \)

Manchmal, wie eben bei deiner Aufgabe, kann es aber sein, dass du keines der eben genannten Verfahren anwenden kannst. Dann hilft dir die Polynomdivision weiter. Dabei "errätst" du (vllt mithilfe des Taschenrechners) eine der Nullstellen und teilst das ganze Polynom dann durch den Linearfaktor dieser Nullstelle. 
Habt ihr das schonmal gemacht und weißt du, wie das geht?
Das hat den Hintergrund, dass jedes Polynom ja als Produkt seiner Linearfaktoren geschrieben werden kann (auch wenn du die Linearfaktorzerlegung hier noch suchst). Teilst du jetzt das ganze Polynom durch den Linearfaktor dieser erratenen Nullstelle, dann kürzst du den quasi aus dem Polynom weg. Das Restpolynom, also was bei der Polynomdivision als Ergebnis rauskommt, enthält dann alle restlichen Nullstellen.

Hoffentlich konnte ich dir etwas weiterhelfen, melde dich gerne bei Rückfragen, z.B. zur Polynomdivision oder gerne auch andere Fragen.

LG Lunendlich :-)
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Nullstellen von Polynomen vom Grade>2 lassen sich nur in Sonderfällen elementar lösen, wenn man nicht für die Grade 3 und 4 spezielle, sehr komplexe Wurzelformeln benutzen will. Für Grade >4 gibt es keine Wurzellösungen (Galois).
In den Schulen sind die Polynome meist so konstruiert, dass es mindestens 1 ganzzahlige Lösung \(x_1\in [-4,4] \), sodass man durch Polynomdivision oder (noch besser) durch Hornerschema zu einem Polynom vom Grade n-1 gelangt, das elementar zu lösen ist.
Im vorliegen Fall ist \(x_1=1\) und damit \(r(x)=(2x^3+6x^2-6x-2)/(x-1)\)
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