Aus 3 | a² folgt 3 | a.

Aufrufe: 1351     Aktiv: 07.05.2020 um 18:20
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Hallo Leute,

Die Aufgabe lautet:

Eine Zahl ist a ∈ Z durch 3 teilbar (in Zeichen 3 | a), falls es ein k ∈ Z gibt mit a = 3k.

(a) Zeigen Sie für alle a ∈ Z: Aus 3 | a² folgt 3 | a.

 

Durch die Antworten hier, habe ich dann folgendes als Lösung gehabt:

 

 

Direkter Beweis: A⇒B wird bewiesen durch : A⇒A1 ⇒ A2⇒ ... ⇒A ⇒ B
Annahme: Aus 3|a2 folgt, dass ein k∈Z existiert mit 3∗k=a∗a.
Somit enthält mindestens einer der Faktoren a*a die 3 als Primfaktor. Also
3∣a∨3∣a . Da beide a gleich sind, gilt dies sogar für beide a: also 3∣a∧3∣a.
Somit ist bewiesen, dass 3∣a2 ⇒3∣a.

Nun wurde mir aber gesagt, dies sei nicht eindeutig genung, und man soll den Kontrapositionsbeweis verwenden.Habe aber keine Ahnung, wie das funktionieren soll.

Ich weiss, dass ich dann ¬B⇒¬A zeigen muss. Aber wie zeige ich hier, dass ¬B gilt?

Geht das so?:

https://media.mathefragen.de/media/2020/5/7/9a61b48b3dc4e3969f99bf9c.jpg

Lg und Danke

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Student, Punkte: 22

 
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Ich versuche es hier mal mit einem direkten Beweis.

Wir schreiben \(a=3q+r\) mit \(q,r \in \mathbb{Z}\) und \(0 \le r < 3\) (Division mit Rest).

Sei nun \(a^2\) durch \(3\) teilbar, dann existiert ein \(k \in \mathbb{Z}\) mit \(3k=a^2=(3q+r)^2=3(3q^2+2qr)+r^2\) und somit \(r^2 = 3(k-3q^2-2qr) \). Also ist \(r^2\) durch \(3\) teilbar. Da nach Konstruktion \(r^2 \in \{ 0,1,4 \} \) ist, muss demnach \(r^2 = 0 \) und damit auch \(r=0\) sein. Hieraus folgt \(a=3q+r=3q\), womit auch \(a\) durch \(3\) teilbar ist.

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Student, Punkte: 7.02K

 
Danke. Aber das hilft mir hier leider nicht weiter.   ─   jh 07.05.2020 um 16:16
Warum hilft dir das nicht weiter?
Ein Beweis durch Kontraposition ist hier eher schwierig. Deine Lösung ist auch leider falsch, da du nur gezeigt hast, dass \(a^2 \neq 3r\) für alle \(r=3k^2\) ist. Du musst aber \(a^2 \neq 3r\) für alle \(r \in \mathbb{Z}\) zeigen.   ─   42 07.05.2020 um 16:27
Wir haben heute in der Übungsgruppe gesagt bekommen, dass wir das mit dem Kotrapoitionsbeweis machen sollen.
Komme aber leider damit nicht wirklich zurecht.   ─   jh 07.05.2020 um 16:55
Ich weiß ja nicht, was ihr in der Vorlesung schon so gemacht habt, aber ein elementarer Beweis (mit der angegebenen Definition) durch Kontraposition erscheint mir fast nicht möglich. Aus \(a \neq 3k\) folgt immer \(a^2 \neq 3(3k^2)\), aber Letzteres hat überhaupt keine Aussagekraft, ob \(a^2\) durch \(3\) teilbar ist oder nicht.   ─   42 07.05.2020 um 17:11
also kann ich den hier angegebenen Beweis einfach in einen Kontrapositionsbeweis umschreiben?

Kontrapositionsbeweis: ¬B⇒¬A
Sei
a=3 q+r , r ∈{1,2 }, q ∈Z
[so ist a nicht durch 3 teilbar. Denn 3q ist
durch 3 teilbar, aber r nicht, denn r ist 1
oder 2 ]
a ² =(3q+ r) ²
⇔ a ²=9 q 2+6 qr + r ²
⇔a 2=3 (3q 2 +2qr )+r ²
Somit gilt
Aus r ∈{1,2} folgt r 2∈{1,4 } . Da 3∗(3 q 2+2 qr ) definitiv durch 3 teilbar
ist, ist 3∗(3 q 2+2 qr )+r ² , also 3∗(3 q 2+2 qr )+1 oder 3∗(3 q 2+2 qr )+4
nicht durch 3 teilbar.   ─   jh 07.05.2020 um 18:14
Ja, das geht so   ─   42 07.05.2020 um 18:16

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Beweis duch Kontraposition heißt hier: Du nimmst an, dass 3 kein Teiler von `a` ist, und zeigst, dass 3 dann auch kein Teiler von `a^2` ist. Das ist im Prinzip genau das, was mein Vorredner vorgeführt hat.

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Lehrer/Professor, Punkte: 7.74K

 
also kann ich den hier angegebenen Beweis einfach in einen Kontrapositionsbeweis umschreiben?

Kontrapositionsbeweis: ¬B⇒¬A
Sei
a=3 q+r , r ∈{1,2 }, q ∈Z
[so ist a nicht durch 3 teilbar. Denn 3q ist
durch 3 teilbar, aber r nicht, denn r ist 1
oder 2 ]
a ² =(3q+ r) ²
⇔ a ²=9 q 2+6 qr + r ²
⇔a 2=3 (3q 2 +2qr )+r ²
Somit gilt
Aus r ∈{1,2} folgt r 2∈{1,4 } . Da 3∗(3 q 2+2 qr ) definitiv durch 3 teilbar
ist, ist 3∗(3 q 2+2 qr )+r ² , also 3∗(3 q 2+2 qr )+1 oder 3∗(3 q 2+2 qr )+4
nicht durch 3 teilbar.   ─   jh 07.05.2020 um 18:12
Ja, scheint mir richtig zu sein.   ─   digamma 07.05.2020 um 18:14
Okay. Vielen Dank. habt Ihr vllt Tipps, wie ich den Kontrapositionsbeweis an sich besser üben kann?
   ─   jh 07.05.2020 um 18:16
Der Kontrapositionsbeweis ist ja eigentlich auch nur ein direkter Beweis. Wobei man statt \(A \Rightarrow B\) halt \( \lnot B \Rightarrow \lnot A \) zeigt.   ─   42 07.05.2020 um 18:20

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