Grenzverhalten einer geometrischen Reihe

Aufrufe: 38     Aktiv: 25.11.2021 um 21:12

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Hallo zusammen, komme hier leider nicht weiter... welche der beiden Lösungen stimmt? Grenzwert dieser geometrischen Reihe bestimmen?
Viele Grüße
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Die Lösung an der Tafel ist die richtige.
Zu der auf dem Zettel: Die Indexverschiebung ist nicht richtig. Das sieht man schon daran, dass VOR der Verschiebung nur ungerade Exponenten auftauchen, und NACH der Verschiebung nur gerade. Die Summen können also nicht gleich sein.
Wenn man i um 1 nach unten zieht, muss im Summanden i durch (i+1) ersetzt werden.Das wird auch klar, wenn man das Summenzeichen ausschreibt (erster Summand + zweiter +.... + vorletzter + letzter).
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hätte ich nicht direkt p^2i-1 zu p^2i / p umformen können und dann 1/p als konstante nach vorne schieben können? Kommt dann halt 30/p raus...?   ─   nilorak 25.11.2021 um 16:39

Ja, das geht auch. Wäre eine andere, richtige Lösung. Dann kommt man sogar ohne Indexverschiebung durch. Ist eine gute Übung, beide Wege zu beherrschen.   ─   mikn 25.11.2021 um 16:48

Perfekt danke! Wie kann es dann sein das 2 verschiedene Lösungen rauskommen?   ─   nilorak 25.11.2021 um 17:11

Da kommt dasselbe raus, bei Deinem letzten Vorschlag hat man:
$\sum\limits_{i=1} p^{2i-1}=\frac1p\sum\limits_{i=1} p^{2i}\longrightarrow\frac1p (\frac1{1-p^2}-1)=...$
  ─   mikn 25.11.2021 um 17:21

Alles klar. Noch eine Rückfrage zu der vorherigen Methode. Warum stimmt es so? Weil ich dachte wenn ich jetzt den Startwert von i=1 auf i=0 verschiebe muss ich auch die obere Grenze um 1 verringern, bis dahin klar aber nun warum springt denn der Exponent von -1 auf +1 weiter? Sind es dann nicht "2 Schritte" anstatt einem? Von p^2i-1 auf p^2i+1, weil dazwischen gibt es noch p^i?   ─   nilorak 25.11.2021 um 18:25

Ja, wenn man i um 1 runterzieht, geht obere und untere Grenze um 1 runter. Aber, wie ich oben sagte, muss im Summanden i durch (i+1) ersetzt werden. Aus 2i-1 wird dann 2(i+1)-1. Nochmal: schreib die Summen aus, auch dann siehst du es.   ─   mikn 25.11.2021 um 21:12

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