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Also wie oft können die verschiedenen Funktionen zum Beispiel die X-Achse schneiden oder Extremwerte haben?
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Ich ergänze mal die Antwort von cauchy durch eine weitere Antwort:

Wenn das Polynom einen Grad $n$ hat, der ungerade ist, also wenn die größte vorkommende Potenz eine ungerade Zahl ist, dann gibt es mindestens eine Nullstelle. Ist der Grad $n$ eine gerade Zahl, dann kann es auch keine Nullstelle geben

Beides gilt entsprechend für die Ableitung, mit deren Nullstellen die möglichen Extremstellen-Kandidaten bestimmt werden können (und deren Anzahl).
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Ein Polynom von Grad $n$ hat höchstens $n$ Nullstellen. 

Damit kannst du gewisse Aussagen treffen. Das lässt sich auch auf die Ableitung von Polynomen anwenden, da diese wiederum Polynome sind.
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