Ich ergänze mal die Antwort von cauchy durch eine weitere Antwort:

Wenn das Polynom einen Grad $n$ hat, der ungerade ist, also wenn die größte vorkommende Potenz eine ungerade Zahl ist, dann gibt es mindestens eine Nullstelle. Ist der Grad $n$ eine gerade Zahl, dann kann es auch keine Nullstelle geben

Beides gilt entsprechend für die Ableitung, mit deren Nullstellen die möglichen Extremstellen-Kandidaten bestimmt werden können (und deren Anzahl).

Ein Polynom von Grad $n$ hat höchstens $n$ Nullstellen. 

Damit kannst du gewisse Aussagen treffen. Das lässt sich auch auf die Ableitung von Polynomen anwenden, da diese wiederum Polynome sind.