Also erstmal \(\sqrt[x]x=x^{\frac1x}\) per Definition. Da \(\ln x\) die Umkehrfunktion von \(e^x\) ist, gilt \(e^{\ln x}=x\), folglich ist \(x^{\frac1x}=(e^{\ln x})^{\frac1x}\).

Der nächste Schritt ist einfach das Potenzgesetz \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\) mit \(a=e,m=\ln x, n=\frac1x\).

Jetzt geht es ans Ableiten, und zwar mit der Kettenregel \([u(v(x))]'=u'(v(x))\cdot v'(x)\). Hier ist \(u(x)=e^x\) und \(v(x)=\frac{\ln x}x\). Die Ableitung der \(e\)-Funktion ist sie selbst, sodass \(u'(v(x))=e^{\frac{\ln x}x}\), und \(v'(x)\) wird erst mal genau so hingeschrieben.

Im letzten Schritt wird \(e^{\frac{\ln x}x}\) wieder zu \(x^{\frac1x}\) umgeschrieben und mithilfe der Quotientenregel die Ableitung von \(\frac{\ln x}x\) berechnet:

\(\left(\frac{\ln x}x\right)'=\frac{(\ln x)'\cdot x-\ln x\cdot x'}{x^2}=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}\).

Ich hoffe, das klärt alle Fragen. Ansonsten frag gern nochmal nach :)