Wie zeige ich diese Aussage (Zwischenwertsatz)?

Aufrufe: 1203     Aktiv: 11.12.2019 um 17:32

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Ich weiss leider nicht so recht wie man das zeigen kann, ich habe mir aber mal etwas zu überlegt.

Angenommen, die Funktion sei nicht konstant, weil sonst könnte man ja sofort so ein x finden. Wenn sie nicht konstant ist, bedeutet das, dass es ein y€[0,1] geben muss, sodass entweder f(y) > f(0) = f(1) 0 oder f(y) < f(0) = f(1) gilt. Dann kann man die Teilintervalle von [f(0),f(y)) und [f(1),f(y)) betrachten. Weil f stetig ist, kann man nun den ZWS anwenden und erhält: Für ein bel. α€[f(0),f(y)) existiert ein β€[0,y) sodass f(β) = α. Da aber [f(0),f(y)) = [f(1),f(y)), folgt nun auch: es existiert ein γ€(y,1] sodass f(γ) = α wobei aber offensichtlicherweise βγ gilt. Jetzt haben wir also zwei unterschiedliche x-Werte gefunden, die den selben y-Wert haben. Jetzt muss man noch irgendwie zeigen, dass es diese beiden x-Werte 1/n von einander entfernt liegen. Hat da jemand eine Idee, wie man das machen kann? Komme irgendwie nicht so wirklich weiter. Danke im voraus!

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2 Antworten
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Hallo,

du sollst ja nicht zeigen, das es dieses \( x \) für jedes \( n \) existiert oder?

Also nehme wir einfach \( n=1 \) und \( x = 0 \), damit ist

$$ x \in [0, 1 - \frac 1 n ] = [0,0] = \{0\}$$

und 

$$ f(0+ \frac 1 1 ) = f(1) $$

Da nach Voraussetzung

$$ f(0) = f(1) $$ 

gilt, ist die Aussage gezeigt. 

Wirkt für mich wie eine Fangfrage. Übersehe ich etwas? Was meinst du dazu?

Grüße Christian

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Ja das macht tatsächlich mehr Sinn. :D
Danke dir
  ─   christian_strack 11.12.2019 um 15:32

Ja, die Aussage war für jedes n zu zeigen. Ich habe da meiner Meinung nach auch eine sehr coole Lösung gefunden, die aber im Prinzip @wrglprmft's Antwort entspricht   ─   linearealgebruh 11.12.2019 um 17:32

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