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Es kann nicht sein, dass das eine Kriterium sagt, dass die Reihe konvergiert und das andere sagt, dass die Reihe divergiert. Wenn du auf solche Widersprüche triffst, dann muss in deinen Rechnungen ein Fehler sein.
Wenn man alles richtig macht, kann man sich auf jedes dieser Kriterien zu 100% verlassen.
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42
Student, Punkte: 7.02K
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Vielleicht kannst du ja mal ein Beispiel sagen, wo du Probleme hast. Dann können wir das mal durchgehen.
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42
10.12.2020 um 22:37
Darf man bei alternierenden Reihen das Minorantankriterium nicht anwenden gell ? Das wüsste ich eben leider net. Ich mach ja wohl deswegen Fehler
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theodor234
10.12.2020 um 23:35
Man darf das Minorantenkriterium immer anwenden, auch bei alternierenden Reihen. Das ist ja einfach nur eine Folgerung aus den Regeln für Folgen.
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42
11.12.2020 um 00:29
dankeschön könnten Sie bitte ein kleines alternierendes reihe bsp durchführen die mit minoranten untersucht wird. weil ich da wahrscheinlich den alternierenden term ignoriere, deswegen ich aufs richtige ergebnis nicht komme.
und hab noch ne ganz andere frage, muss das intervall stets abgeschlossen sein wenn ich iwo die gleichmäßige konvergenz zeigen möchte? ─ theodor234 11.12.2020 um 08:48
und hab noch ne ganz andere frage, muss das intervall stets abgeschlossen sein wenn ich iwo die gleichmäßige konvergenz zeigen möchte? ─ theodor234 11.12.2020 um 08:48
Betrachte beispielweise die Reihe \( \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k \) mit \( a_k = \begin{cases} k & k \ gerade \\ sin(k) & k \ ungerade \end{cases} \).
Es gilt \( (-1)^k a_k = k \) für gerade \(k\) und \( (-1)^k a_k = - sin(k) \ge -1 \) für ungerade \(k\). Wir erhalten also als Minorante die Reihe \( \sum_{k=0}^\infty (-1)^k b_k \) mit \( b_k = \begin{cases} k & k \ gerade \\ 1 & k \ ungerade \end{cases} \).
Man kann sich überlegen, dass \( \sum_{k=0}^n (-1)^k b_k \ge n-3 \) ist. Also muss die Reihe \( \sum_{k=0}^\infty (-1)^k b_k \) strikt gegen \( \infty \) divergieren.
Nach dem Minorantenkriterium muss dann auch \( \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k \) strikt gegen \( \infty \) divergieren.
Zur Frage mit der gleichmäßigen Konvergenz: Die gleichmäßige Konvergenz ist immer abhängig vom Definitionsbereich. Allerdings ist es egal, wie der Definitionsbereich aussieht. Es muss sich dabei also überhaupt nicht um ein Intervall handeln, sondern man kann beliebige Mengen als Definitionsbereich betrachten. ─ 42 11.12.2020 um 15:10
Es gilt \( (-1)^k a_k = k \) für gerade \(k\) und \( (-1)^k a_k = - sin(k) \ge -1 \) für ungerade \(k\). Wir erhalten also als Minorante die Reihe \( \sum_{k=0}^\infty (-1)^k b_k \) mit \( b_k = \begin{cases} k & k \ gerade \\ 1 & k \ ungerade \end{cases} \).
Man kann sich überlegen, dass \( \sum_{k=0}^n (-1)^k b_k \ge n-3 \) ist. Also muss die Reihe \( \sum_{k=0}^\infty (-1)^k b_k \) strikt gegen \( \infty \) divergieren.
Nach dem Minorantenkriterium muss dann auch \( \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k \) strikt gegen \( \infty \) divergieren.
Zur Frage mit der gleichmäßigen Konvergenz: Die gleichmäßige Konvergenz ist immer abhängig vom Definitionsbereich. Allerdings ist es egal, wie der Definitionsbereich aussieht. Es muss sich dabei also überhaupt nicht um ein Intervall handeln, sondern man kann beliebige Mengen als Definitionsbereich betrachten. ─ 42 11.12.2020 um 15:10