Grenzwert in Abhängigkeit von Parameter berechnen?

Aufrufe: 1880     Aktiv: 08.07.2020 um 13:20
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Hallo,

ich habe folgenden Grenzwert zu berechnen:

\( lim_{n \to \infty} \frac{x^{n^2}}{n^{2n}} \) \(\text {mit } x > 0\)

Meine Lösung ist folgende:

Laut WolframAlpha ist der Grenzwert aber 0. Hat das was mit der Variable "x" zu tun?

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Student, Punkte: 51

 
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Schau dir mal deine letzte Zeile an.

Ist \(\ln(x)\geq0~\forall x>0\) ?

Wenn nicht, dann würdest du für gewisse \(x\) den Ausdruck: \(e^{-\infty}=0\) erhalten.

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Student, Punkte: 885

 
An sich wird \( ln(x) < 0\), wenn 0 < x < 1 ist. Demnach müsste ich das ganz in zwei Fälle unterscheiden und diese dann separat betrachten / behandeln, richtig?   ─   anonym4fb50 08.07.2020 um 11:45
Genau. :) Du wirst sehen, dass deine Folge für \(x\in(0,1]\) gegen 0 konvergiert und sonst divergiert.   ─   smileyface 08.07.2020 um 11:49
Alles klar, vielen Dank für die schnelle und verständliche Antwort!   ─   anonym4fb50 08.07.2020 um 11:54
Ich hätte noch eine Frage zum Fall \( ln(x) = 0\) mit x = 1. Hätte ich dann nicht einen unbestimmtem Ausdruck mit \(\infty * 0\)?   ─   anonym4fb50 08.07.2020 um 12:27
Dieser Fall lässt sich abklären, wenn du x=1 in deine Folge einsetzt und den Grenzwert bestimmst.   ─   smileyface 08.07.2020 um 12:45
Das ist ja die Frage, wenn ich ganz trivial rangehe, dann habe ich etwas wie \(n^2 * (0 - 0)\) da stehen. Und 0 * \(\infty\)wäre m.M.n. 0. Nur frage ich mich halt ob das nicht als unbestimmter Ausdruck zählt oder entstehen diese nur, wenn ich gegen meinen Grenzwert laufe und erst dann in diese "Form" komme?   ─   anonym4fb50 08.07.2020 um 12:51
Okay. An dieser Stelle würde ich die gegebene Form der Folge betrachten.
Mit \(x=1\) gilt:

\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1^{n^2}}{n^{2n}}=\frac{1}{n^{2n}}\)

Nun ist zu zeigen, dass für \(\varepsilon>0\) gilt:

\(|a_n-a|<\varepsilon\), wobei mit \(a=0\) angenommen folgt: \(|a_n|<\varepsilon\)   ─   smileyface 08.07.2020 um 13:20

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Deine Überlegungen sind korrekt, wenn \(\ln(x>0)\) ist. Sie divergiert dann gegen \(\infty\) - für \(x=e\) konvergiert die Folge gegen \(1\) und für \(x\in(0,1)\)  gegen \(0\) - für negative \(x\) benötigst du ein alterntives Argument über den Absolutbetrag - bekommst aber das gleiche Konvergenzverhalten.

Bist du übrigens sicher, dass deine Folge korrekt dasteht. Denn die Folge \(a_n=\frac{x^{n^2}}{n^{2^n}}\) konvergiert (falls ich mich hier nicht irre) für alle \(x\) gegen \(0\). Vielleicht hast du diese Folge bei WolframAlpha eingetippt?

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Lehrer/Professor, Punkte: 1.29K

 
Diese Folge \(a_n=\frac{x^{n^2}}{n^{2n}}\) konvergiert nur für \(|x|\leq1\), wenn \(n\to\infty\)   ─   smileyface 08.07.2020 um 11:30
Die Folge steht korrekt da. Ist eine Aufgabe aus einer alten Klausurreko.   ─   anonym4fb50 08.07.2020 um 11:51

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