Oh man, super, danke!!! Jetzt versteh ich das mit dem A(w) eindlich :D vielen vielen Dank.

Jedoch noch eine kleine Zusatzfrage zur Lösung - aus der ich auch nicht viel schlauer wurde-. Woher weiß man das C die anzahl der Einsen stehts gerade machen soll? Und woher weiß man in welchem Teil des Tupels man die 0 einfügen muss. Also wieso ist bei der rechten Spalte C(w) = B o A(w)   (0,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (0,1,1) Es könnte dort doch genauso (0,0,0) (1,1,0) (0,1,1) (1,0,1) stehen, dann wäre die Anzahl doch immernoch gerade.

Ich kann mich leider wieso auch immer gerade nicht bei meinem anderen Account (über google angemeldet) einloggen, sobald das geht gibts auf jeden Fall ein Like auf die Antwort!

Die Menge \( \{0,1\}^2\) bezeichnet die Menge aller Tupel über \( \{0,1\}\). Das heißt:

\( \{0,1\}^2 =\{ (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\} \). Entsprechend ist \(\{0,1\}^3\) definiert. 

Wie man die Abbildung machen kann steht ja eigentlich genau in der aufgabe. Die ersten beiden Elemente werden übernommen und im dritten Element steht einfach die Summe der beiden mod 2, das entspricht einfach der Addition, die auf dem \( \mathbb{F}_2\) definiert ist. 

Bsp: \(A((0,1)) = (0,1,1) \)

Die Tabelle die du aufschreiben sollst, sagt dir einfach, auf was die oben aufgezählten Tupel abgebildet werden. ICh versuche das mal grob aufzuzeichnen:

       |1          |   0        |

1     | C(1,1) | C(1,0)  | 

0     | C(0,1) | C(0,0)  |

Ich denke das ist einigermßen verständlich.

Naja, welche Zahl jetzt wo steht wird durch die beiden Funktionen ja eigentlich ganz klar festgelegt. Hier wird also keine Null irgendwo zufällig eingefügt, sondern das Tupel, was nur 2 Einträge hat, wird durch A um einen weiteren Eintrag erweitert und das ist das Paritätsbit. Durch B wird dann die Reihenfolgt getauscht. Du hast ja:

\(C((a,b)) = B(A((a,b))) = B((a,b,a+b \text{ mod 2 })) = (a+b \text{ mod 2 },a,b) \)

Das heißt, die Funktion B verschiebt das Paritätsbit quasi an die erste Stelle. Wir können uns dann die zweite Zeile deiner Tabelle anschauen. Zuerst wird \(A((0,1))\) berechnet und man erhält \((0,1,1)\) und anschließend wird mit B das Paritätsbit, das noch an dritter Stelle steht an die erste stelle verschben und man erhält: \((1,0,1)\)