Bestapproximation im Polynomraum P2

Erste Frage Aufrufe: 58     Aktiv: 31.07.2021 um 22:32

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Hallo liebe Gemeinde,
ich habe folgendes Problem

Man bestimme die Bestapproximation $g(x)$ der Funktion $f(x)=\sqrt{x}$ bzgl. des $L^2$-Skalarprodukts über dem Intervall $[0,1]$ im Polynomraum $\mathbb{P}_2$.

Es gilt
\begin{equation}
\langle v, v \rangle = \int\limits_0^1 v^2 dx
\end{equation}
mit den Skalarprodukten $\langle 1,1 \rangle, \langle 1,x \rangle, \langle 1,x^2 \rangle, \langle x,x \rangle, \langle x,x^2 \rangle, \langle x^2,x^2 \rangle$ und $\langle \sqrt{x},1 \rangle, \langle \sqrt{x},x \rangle, \langle \sqrt{x}, x^2 \rangle$

Wieso muss ich z. B. das Skalar $\langle v_1,v_1 \rangle$ mit $(1,x,x^2)=(v_1,v_2,v_3)$ bestimmen, denn es ist doch allgemein
\begin{equation}
\text{min}||f-v_i||, \quad i=1,2,3
\end{equation}
oder nicht?
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