Kombinatorik Aufgabe mit zurücklegen

Aufrufe: 51     Aktiv: 16.07.2021 um 23:11

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Hallo, zu der Aufgabe hätte ich eine Frage. Es liegt folgende Aufgabe vor:

Eine Urne enthält 12 rote Kugeln und 18 schwarze Kugeln. Die Kugeln tragen die Nummern von 1 bis 30, wobei jede Nummer genau einmal vorkommt. Gehen Sie im folgenden davon aus, dass die Farbe und die Nummer jeder Kugel stochastisch unabhängig sind.

Sie ziehen mit Zurücklegen fünf Kugeln aus der Urne.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei rote Kugeln und drei schwarze Kugeln, gezogen werden?

Meine Idee wäre es gewesen \( \frac {12} {30}^2 \cdot \frac {18} {30}^3 \) zu rechnen, dies scheint aber falsch zu sein. Was ist hier der Fehler und wie würde es richtig sein?

Über jede Hilfe bin ich dankbar.
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Du hast nicht berücksichtigt, dass die Reihenfolge beliebig ist, in der Du die Kugeln ziehst.
Du hast lediglich (z.B.) die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass die erste Kugel rot, die zweite auch rot und danach drei schwarze kommen. Aber es gibt ja noch mehr Reihenfolgen.
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Ok, das habe ich dann verstanden, aber wie berücksichtigt man die verschieden beliebigen Reihenfolgen? Es hat sich nicht damit getan, dann 5 über 3 * 5 über 2 zu rechnen.   ─   wuseldusel123 16.07.2021 um 21:28

Nö, die Wahrscheinlichkeiten brauchst Du natürlich auch noch.
Versuch doch mal, Dir das an einem Baumdiagramm klar zu machen. Also immer zwei Äste: r und s. Und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten dranschreiben. Dann die Pfadregeln anwenden und vielleicht zu Fuß alles ausrechnen. Auf jeden Fall überlegen, wie das ganze systematisiert werden kann.
  ─   joergwausw 16.07.2021 um 21:34

Meinte eigentlich auch, das hinten dranzuhängen, aber das war eine Schnapsidee. Das mit dem Baumdiagramm ist natürlich eine Möglichkeit, aber das würde in der Klausur zu lange dauern. Ansonsten habe ich nur noch diese Idee \( \frac {\binom{12+1-1}{2} \cdot {\binom{18+3-1}{3}}} {\binom{30+5-1}{5}} \)   ─   wuseldusel123 16.07.2021 um 22:06

Es geht ja erstmal darum zu verstehen, wie die richtige Formel zustandekommt - dafür das Baumdiagramm. in der Klausur dauert das natürlich zu lange.
Da Du aber sicherlich nicht am Abend vor der Klausur hier mit dieser Frage anfängst, hast Du doch noch Zeit, Dir das klarzumachen, damit Du in der Klausur dann sofort die richtige Formel parat hast. Alternativ kannst Du auch die Möglichkeiten der Reihenfolgen notieren, also (r,r,r,s,s), (r,r,s,r,s), ...

Wie kommst Du denn auf diese neue Formel? Die sieht auch nicht wirklich vertrauenserweckend aus. Durch "Formelraten" auf die richtige Formel zu kommen besitzt keine große Erfolgswahrscheinlichkeit, wie folgendes Beispiel zeigt:

Ein Lehrer hat 30 Aufgaben. 12 davon sind mit Formel 1 zu lösen. 18 davon sind mit Formel 2 zu lösen. Für eine Klausur möchte er 5 der 30 Aufgaben aussuchen, 2 von denen sollen mit Formel 1, 3 davon mit Formel 2 zu lösen sein. Wie viele Möglichkeiten hat er, die 5 Aufgaben auszuwählen?
Und wie groß sind die Chancen des Schülers auf 5 richtige Lösungen, wenn er wahllos eine von vier möglichen Formeln benutzt?

Aber mal im Ernst:
..... Du weißt doch vermutlich, dass 5 über 3 das gleiche Ergebnis hat wie 5 über 2...?
  ─   joergwausw 16.07.2021 um 22:22

Hab das jetzt mit dem Baumdiagramm gemacht und die verschiedenen Möglichkeiten aufgeschrieben. Es sind 10 Möglichkeiten was 5 über 2 oder 5 über 3 entspricht. Dementsprechend \( \frac {12} {30}^2 \cdot \frac {18} {30}^3 \cdot \binom{5}{2} \). Das müsste jetzt passen.

Das mit 5 über 2 = 5 über 3 ist mir dann auch aufgefallen, hoppla.
  ─   wuseldusel123 16.07.2021 um 23:11

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