Die Aufgabenteile geben doch schon eine gute Anleitung, wie die Matrix A zu bestimmen ist.

Bei a) kann man für den ersten Vektor der Orthonormalbasis den gegebenen Vektor v nehmen und normieren. Nun braucht es nur noch zwei weitere Vektoren, die auf diesem (und einander) senkrecht stehen. Einen sieht man mit bloßem Auge (nämlich \(e_2\) ) und für den letzten kann das Kreuzprodukt herhalten.

Die Matrixdarstellung der Drehung ist recht einfach zu finden, da nach Konstruktion der erste Basisvektor ja fest bleibt (ist ja die Drehachse) und die Drehung selbst ist auf dem orthogonalen Unterraum bestimmt, der von \(w^{(2)}, w^{(3)}\) aufgespannt wird.

Zum Schluss noch die Basiswechselmatrix, für die Orthogonalität kommt es im Prinzip nur darauf an, auf die Orientierung zu achten (Determinate = 1).