Hey nerfmann1,
ich hab' da mal eben was zusammengetippelt, was dir bei deinem Problem ggf. weiterhelfen könnte.
Es macht selbstverständlich - wie von maccheroni_konstante bereits erwähnt - zunächst Sinn, die Nullstellen des Nenners und des Zählers zu bestimmen, damit sich Pol- bzw. Definitionsstellen einer Funktion \(f(x)\) klar identifizieren lassen (d.h. definitionsgemäß keine gemeinsamen Nullstellen zwischen Zähler und Nenner).
Ich hab's persönlich auch immer nur mit der "Ich-Probier-mal-und-schau'-was-rauskommt"-Methode gemacht, hab' aber durch eine kurze Befragung von Google die weiter unten folgende Methodik entdeckt (mit gewisser Ähnlichkeit zur h-Methode, z.B. bekannt aus der ursprünglichen Definition der Ableitung, bei der \(\lim_{\,h\, \rightarrow\, 0}\, f(g(x_{0}))\) - in Kombination mit dem Differentialquotienten \(f(g(x_{0}))=\frac{g(x_{0}+h)-g(x_{0})}{h}\) als Funktionsinput - verwendet wird, um die Ableitung einer bestimmten Funktion \(g(x_{0})\) (allgemein oder auch speziell bei \(x=x_{0}\)) ohne die Ableitungsregeln zu bestimmen).
Ich hänge dir meine sinngemäße Abschrift des Suchfundes in (leicht-abgewandelter) Form als "allgemeine" (Beispiel-)Definition (Gleichung (1)) bzw. in Form eines Beispielvorgehens zu deiner Funktion (Gleichung (2) - (9)) weiter unten an, so dass du die Idee ggf. auf andere Problemstellungen anwenden kannst.
Das Verhalten einer Funktion an einer waagerechten oder (in deinem Fall) senkrechten Asymptote (Polstelle / nicht-hebbare Definitionslücke) wird in der Regel über den Grenzwert an die Asymptote bestimmt: Die hier folgende Methodik enthält entsprechend zunächst einen Grenzwert, den es auszuwerten gilt, um den Funktionsverlauf entsprechend zu interpretieren.
Der (vorbereitende) Trick / die "Präparation des Grenzwert-Inputs" ist hier, sich (wie du es auch testweise mit einem beliebigen x-Wert gemacht hast) eine Position auf der x-Achse mit \(x=x_{0}\pm h\) zu definieren, die entweder links (\(x_{0}-h\)) oder rechts (\(x_{0}+h\)) von der bekannten Polstelle \(x_{0}\) liegt.
Was dann folgt ist das Einsetzen der gewählten Position (links- oder rechtsseitig) in die gegebene Funktion \(f(x=x_{0}\pm h)\), gefolgt von ein bisschen Umstellen und Anwenden einiger mathematischer Gegebenheiten, sowie dem anschließenden Auswerten des erhaltenen ("präparierten") Funktionsausdrucks mithilfe des Grenzwerts für \(h\,\rightarrow\,0\).
In diesem Fall bietet sich zunächst der rechtsseitige Nachweis (ab Gleichung (2)) an, da die Lösung dieses Nachweises auch in der Interpretation des linksseitigen Nachweises (Gleichung (9)) verwendet werden kann (zumindest je nachdem, welchen mathematischen Weg man nach dem Anfang von Gleichung (9) gehen möchte ;) ).
Zu beachten ist hier dann eigentlich nur noch, dass die Zahlenwerte in Gleichung (5) für \(\rightarrow\,0^{+}\) immer rechts von 0 (also im positiven Bereich; d.h. von \(+\,\rightarrow\,0\)) bzw. in Gleichung (9) für \(\rightarrow\,0^{-}\) immer links von 0 (also im negativen Bereich; d.h. von \(-\,\rightarrow\,0\)) liegen - der Rest ergibt sich von selbst. :)
Es könnte sich allerdings (je nach mathematischem Level, auf dem man so im Alltag unterwegs ist) eventuell ein wenig knifflig gestalten, die zu evaluierende Funktion vor dem Anwenden von \(h\,\rightarrow\,0\) so in "Form" zu bringen, dass die Interpretation anschließend leicht fällt; auf einem soliden (Abi-)Schulniveau sollte das aber durchaus machbar sein (denke ich).
Ist aber auch nur eine Spekulation meinerseits, da es ja bekanntlich mathematische Probleme gibt, die man schwer (oder auch gar nicht) analytisch lösen kann - Stichwort numerische Mathematik oder die Integration unstetiger Funktionen. :P
Hoffe aber trotzdem, dass dir das ggf. weiterhilft.
Cheers! :)
Ursprüngliche Quelle: https://www.onlinemathe.de/forum/Grenzwert-an-Definitionsluecke-bestimmen-mit-limes
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