Wie bestimmt man die globale extrema ?

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wie haben die folgende Funktion




von der wir die globale Extrema bestimmen müßen.
die locale waren einfach,aber die wie kann man die globale bestimmen ?



ich wäre dankbar wenn jmd mir vedios dafür vorschlägt ..
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2 Antworten
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Hey Adam,

du kannst dir die Grenzwerte der Funktion anschauen. Mit diesen Informationen kannst du dann Aussagen bezüglich der Extrema treffen. Dabei gibt es dann viele Fälle zu betrachten. Beispiele sind:

Wenn die Funktion gegen \( \pm \infty \) konvergiert, dann existiert z.B. kein globales Extremum.

Konvergiert sie aber z.B. sowohl für \( x \rightarrow \infty \) und \( x \rightarrow -\infty \) gegen \( \infty \), dann kannst du die Funktion auf globale Minima untersuchen. Die Kandidaten sollten dann die lokalen Minimalstellen sein. Dann wäre das kleinste lokale Minimum auch das globale Minimum.

Andersherum funktioniert das für globale Maxima genauso.

Konvergiert die Funktion gegen einen festen Grenzwert, dann liefert dir das (auch im Vergleich mit den lokalen Extremalstellen) eine mögliche Aussage über globale Extrema.


Ich hoffe da waren ein paar hilfreiche Infos dabei.

VG
Stefan

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Ich hab mir mal die entsprechende Funktion kurz angeschaut, wenn mich nicht alles täuscht, dann konvergiert diese sowohl für \( x \rightarrow -\infty \), als auch für \( x \rightarrow \infty \) gegen \( \infty \) und somit greift der von mir beschriebene Fall bezüglich der globalen Minima. Hier solltest du dir also deine lokalen Minima anschauen.   ─   el_stefano 02.02.2021 um 18:48

kannst du den letzten Fall mehr erläutern ??..(also wenn die Funktion gegen einen Grenzwert konvergiert)   ─   adamk 02.02.2021 um 21:59

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Die globalen Extrema sind der größte Hochpunkt und der kleinste Tiefpunkt.
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Siehe andere Antwort. Das Grenzverhalten muss natürlich vorher untersucht werden. :)   ─   cauchy 02.02.2021 um 18:41

ich hab in der lösung geschaut und der Grenzwert wenn die Funktion gegen +/- unendlich läuft ist +unendlich ....weisst du wie man darauf gekommen ist ?   ─   adamk vor 5 Tagen, 16 Stunden

Für \(x\rightarrow +\infty\) geht \(\mathrm{e}^x\rightarrow \infty\) und für \(x\rightarrow -\infty\) geht \(-x^3\rightarrow \infty\). Die Vorfaktoren habe ich jetzt mal ignoriert. Das reicht aber aus, dass der gesamte Ausdruck dann entsprechend gegen unendlich geht.   ─   cauchy vor 5 Tagen, 16 Stunden

aber muss man nicht den hochsten Potenz nehmen und dort +/- unendlich einsetzen ? also hier ist hochste potenz ist \( -x^{3}\) für + unend ist -unendlich und für + auch -unendlich wegen der - vorher ?
wieso für +unend hast \(e^{x}\) genommen und für -unend hast du \(-x^{3}\) genommen ?
  ─   adamk vor 5 Tagen, 16 Stunden

\(\mathrm{e}^x\) wächst schneller als jede Potenz. Allerdings: Für \(x\rightarrow -\infty\) geht dieser Teil jedoch gegen 0, deswegen kann man ihn in diesem Fall ignorieren.   ─   cauchy vor 5 Tagen, 15 Stunden

also kann man sagen wenn die Funkiton gegen +unendlich läuft dann nimmt man \(x^{2}e^x\) ( in diesem Fall nimmt man nur das(\(x^{2}e^x\)) ?) und dann ist + unendlich und wenn man gegen -unendlich die Funktion laufen lasst e^x fällt weg und deshalb nimmt nimm die x mit hochsten potenz ?   ─   adamk vor 5 Tagen, 15 Stunden

Im ersten Fall reicht die e-Funktion, weil sie schneller als alles andere wächst. Alles andere spielt dann keine große Rolle mehr.   ─   cauchy vor 5 Tagen, 15 Stunden

wäre der Grenzwert eine Zahl...dann ist diese zahl der global hoch/tief Punkt ?   ─   adamk vor 5 Tagen, 12 Stunden

Das hängt davon ab, welche Werte die lokalen Extrema annehmen.   ─   cauchy vor 5 Tagen, 11 Stunden

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