Guten Tag, 

ich habe die untere Aufgabe vor mir, jedoch weis ich nicht wie sie angehen soll. Das Thema an sich habe ich eigentlich verstanden, jedoch kann ich mein Wissen nicht auf der Aufgabe anwenden. Für Teilaufgabe a) ist ja klar das sobald Uj nicht 0 entspricht, die addition der Uj´s ebenfalls nicht 0 sein kann. Jeodoch genügt es ja bestimmt nicht wenn ich das so hinschreibe, für die beiden anderen Teilaufgaben habe ich keine Ansätze...

Vielen Dank schonmal!

Seien U1,···,Un Untervektorräume eines K-Vektorraums V. Dann ist auch U:= U1+···+Un :={u1+···+un | uj ∈ Uj ∀j ∈ {1,···, n}} ein Untervektorraum von V.

Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind

a) Ist u1 + · · · + un = 0 mit uj ∈ Uj , so folgt uj=0 ∀j ∈ {1,···,n}.

b) ∀u ∈ U ist die Darstellung u = u1+···+ un mit uj ∈ Uj eindeutig.

c) Es gilt Ui ∩ (Ui+1+···+Un) = {0} ∀i ∈ {1,···, n−1}. Zeigen Sie dann anhand eines Gegenbeispiels, dass die obigen Bedingungen für n > 2 im Allgemeinen nicht äquivalent zu U1 ∩ ···∩ Un={0} sind.