Modulare Arithmetik inverse

Aufrufe: 419     Aktiv: 23.12.2023 um 19:34

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Ich habe folgende gleichungen gelöst und möchte wissen ob meine lösungen richtig sind
für a) hatte ich 9 raus weil habe den Erweiterten Euklidischen Algorithmus benutzt und dann kam
1 = 11 - 2*5 
-2 + 11 = 9
und bei b) hatte ich 2 raus. habe die gleichung durch den ggt(8,12) geteilt und dann EEA benutzt und dann kam 2 raus
und bei c) gibt es keine lösung da 8 und 12 nicht teilerfremd sind und somit hat die restklasse 8 keine inverse
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Leider nicht alles richtig.
Ich meine übrigens, das Ausprobieren hier viel schneller das Ergebnis bringt als alle Algorithmen, das geht sogar im Kopf und ohne Theorie.
Ob die von Dir gefundenen Lösungen wirklich welche sind, kannst - und solltest - Du selbst durch die Probe feststellen. Das klärt aber noch nicht alles.
Zu a) Da Z11 ein Körper ist, gibt es nur eine Inverse und damit bist Du fertig. (Ausprobieren erspart die Begründung mit dem Körper).
Zu b) Hier kann es mehrere Lösungen geben. In der Tat sind neben 2 auch noch 5, 8, 11 Lösungen.
Zu c) Auch hier einfache Begründung: \(8\cdot x\) ist stets gerade und daher nicht \(\equiv 1\) mod 12.
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Danke für ihre Antwort❤️
Können sie mir vielleicht einen weg empfehlen wie ich auf die mehrere Lösungen bei Aufgabenteil b kommen kann?
wenn 2, 5, 8 und 11 Lösungen sind dann hatten sie sowas als Formel gehabt 3x+2 stimmt das? wie kommt man auf sowas?
  ─   omran_m765 22.12.2023 um 16:06

Gibt bestimmt einen Weg, ich hab einfach nur ausprobiert.
Wie wäre: die Gleichung $8(y+2)\equiv 4$ führt auf $8y\equiv 0$, d.h. $12|8y$, also $3|y$. Es können also beliebige Vielfache von 3 zu einer Lösung addiert werden. Allgemein: Vielfache von kgV$(12,8)/8$. Prüf mal selbst, ob das auch allgemein so stimmt.
  ─   mikn 22.12.2023 um 16:30

Sollten denn hier überhaupt ALLE Lösungen bestimmt werden? Die Aufgabe ist anders formuliert.   ─   m.simon.539 22.12.2023 um 23:16

@m.simon Wenn man die Aufgabe so versteht wie anscheinend Du, dann muss man auch bei Aufgaben wie "Lösen Sie die quadratische Gleichung $x^2-x=0$" die Antwort "$x=0$" mit voller Punktzahl bewerten. Würdest Du das wirklich?   ─   mikn 22.12.2023 um 23:54

Häufig wird bei quadratischen nur eine Lösung (oft die positive) von mehreren verlangt.
Bei b) liefert der EEG angewandt auf 8 und 12 liefert in Übrigen auch nur eine Lösung: 11.
Wenn der EEG hier das Mittel der Wahl ist, und wenn dieser immer nur maximal eine Lösung liefert, ist m.E. eine Lösung ausreichend.
  ─   m.simon.539 23.12.2023 um 00:26

@mikn Ich habe ein Weg gefunden
ich habe meine alte rechnung benutzt da wo ich die 2 bekommen habe
die gleichung war ja 8x ≡ 4 mod 12 wenn man die gleichung durch den ggt(12,8) teilt hat man
2x ≡ 1 mod 3 und wenn man EEA anwendet hat man die 2 raus
dann heißt das dass die inverse zu die 2 hier die 2 ist also x ≡ 2*1 mod 3
das kann man umschreiben zu 3|x-2*1 bzw 3|x-2 also: 3*z = x-2 dann nach x auflösen x=3z+2
  ─   omran_m765 23.12.2023 um 17:12

Ja, das sieht gut aus. Aber für die Lösung inverse von 2 mod3 braucht man doch wirklich keinen EEA, denn 2*2=4=1 mod3.   ─   mikn 23.12.2023 um 18:35

Ja stimmt hab ich nachher gemerkt, vor allem wenn man die inverse von 2 sucht wenn m gerade ist dann gibt es sowieso keine Lösung und sonst ich habe mir grad überlegt man kann die inverse mit dieser Formel im Kopf Immer berechnen (m+1)/2. Bin noch ziemlich neu in diesem, Thema aber komme langsam rein.   ─   omran_m765 23.12.2023 um 19:08

Ja, die Formel passt. Du lernst schnell.   ─   mikn 23.12.2023 um 19:34

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Bei c) fehlt noch als Begründung, dass 1 nicht durch 4 teilbar ist.
Ansonsten ist alles richtig.
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