Stimmt folgender Beweis für a+b≡c+d mod m und a•b≡c•d mod m

Erste Frage Aufrufe: 341     Aktiv: 15.02.2022 um 18:55
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Hallo, wie aus der Überschrift zu lesen, habe ich eine Frage zu der folgendenden Aufgabe und meiner bearbeiteten Lösung:

Die Aufgabe:

Beweise: Falls a≡b mod m und b≡d mod m für beliebige a,b,c,d ∈ Z (ganze Zahlen) und m ∈ N (natürliche Zahlen (kann nur das Symbol nicht einfügen)), dann folgt:
1)  a+b≡c+d mod m
2)  a•b≡c•d mod m

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Aufgabe 1)
$$m|(a-c) ∧ m|(b-d)$$
$$m|(a-c)+(b-d)$$
$$m|(a+b)-(c+d)$$
$$\Longrightarrow (a+b)≡(c+d) \text{ mod m    q.e.d.}$$

Aufgabe 2)
$$m|(a-c) ∧ m|(b-d)$$
$$m|(a-c)+(b-d)$$
$$m|(a+b)-(c+d)$$
$$\Longrightarrow m|(a*b)≡(c*d)$$
$$\Longrightarrow (a*b)≡(c*d) \text{ mod m    q.e.d.}$$

Bei der zweiten Aufgabe bin ich mir wegen der Multiplikation nicht sicher. Muss ich da was anders machen? Passt das sonst überhaupt?

EDIT vom 15.02.2022 um 14:01:

#Edit 1: Falls a≡c mod m und b≡d mod m für beliebige a,b,c,d ∈ Z (ganze Zahlen) und m ∈ N (natürliche Zahlen (kann nur das Symbol nicht einfügen)), dann folgt:
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Das erste ist von der Idee her ok, von der Ausführung her mangelhaft. Der Beweis muss anfangen mit $a\equiv c \land b\equiv d\Longrightarrow$.
(Einschub: In der Aufgabe steht $a\equiv b$, kläre erstmal was hier gemeint ist).
Weiter: Ein Beweis ist eine Abfolge von logischen Schlüssen. Aussagen einfach untereinander schreiben erfüllt das nicht. Es fehlt die Verbindung in Form von Text und/oder logischen Verknüpfungen.
Ergänze bitte beide Beweise entsprechend, bevor es weitergeht.
Zum zweiten: Da fehlt die Begründung, das merkst Du ja selbst.
Tipp: $m\, |\, (a-c) \Longrightarrow m\, |\, ((a-c)b)$. Den Tipp für die zweite Aussage findest Du bestimmt selbst, probier mal.
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Ok, ich habe die Aufgaben überarbeitet. Bei der ersten hätte ich jetzt einmal folgendes ergänzt:

Also zuerst habe ich einmal nach Angabe erklärt was folgend gemeint ist:
$a≡c \text{ mod m}$ ... bedeutet sowohl a und auch b haben bei einer Division mit m den gleichen Rest
$b≡d \text{ mod m}$ ... bedeutet sowohl b und auch d haben bei einer Division mit m den gleichen Rest

Nun zur Aufgabe 1)
$a≡c∧b≡d⟹m|(a−c)∧m|(b−d)$
$m|(a−c)∧m|(b−d)⇔m|(a−c)+(b−d)$
$m|(a−c)+(b−d)⇔m|(a+b)−(c+d)$
$⟹ ( a + b ) ≡ ( c + d ) \text{ mod m q.e.d.}$

Zur Aufgabe 2)
Es gilt $m|(a−c)⟹m|((a−c)b)$ und $m|(b−d)⟹m|((b−d)c)$

$a≡c∧b≡d⟹m|((a−c)b)∧ m|((b−d)c)$
$m|((a−c)b)∧ m|((b−d)c)⇔m|((a−c)b)+((b−d)c)$
$m|((a−c)b)+((b−d)c)⇔m|(a*b)-(c*d)$
$⟹ ( a * b ) ≡ ( c * d ) \text{ mod m q.e.d.}$

Passt dies nun?
Lg und danke
  ─   anonymacd75 15.02.2022 um 13:45
Sorry, das sehe ich gerade, da habe ich mich vertippt, es sollt a≡c mod m heißen. Kann ich das noch wie bearbeiten, das das nicht zu verwirrend ist?

Ok passt, dann mach ich das so das ich das nur in eine Zeile schreibe. Aber bei einem Beweis, kann ich mir merken, muss ich immer die Aussagen miteinander verbinden. Also das mir das nicht mehr passiert.   ─   anonymacd75 15.02.2022 um 14:00

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