Volumen eines Rotationskörper um die Y-Achse

Aufrufe: 104     Aktiv: 17.05.2022 um 20:31

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Meine Frage bezieht sich auf Teil b) folgender Aufgabe:

Unzwar habe ich mit folgendem Integral versucht diese Aufgabe zu rechnen: $ \pi * \int \limits_{y(x_{1})}^{y(x_{2})} (arcsin(y))^{2} * dy $ und bin letztlich auf folgende Stammfunktion gekommen: $ arcsin(y) *(arcsin(y)*y +2*\sqrt{1-y^{2}}) -2*y $. Nun habe ich die Integralgrenzen $ y(x_{2}) = 1$ und $y(x_{1}) = 0 $ ausgewertet und bin auf einen Wert gekommen, der nicht dem Zahlwert der Lösung entspricht. Die Lösung wäre hier $2*\pi^2$. Rechenfehler habe ich bisher nicht gefunden (die Integration habe ich nochmal über ein Rechner laufen lassen). Nun frage ich mich wo das Problem bei meinem Ansatz liegt?

EDIT vom 16.05.2022 um 23:06:

Hier meine grobe Vorstellung, wie der Körper aussehen könnte:

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Student, Punkte: 39

 
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1 Antwort
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Einen "Buckel" der Sinuskurve um die y-Achse drehen...    Kannst du dir das bildlich vorstellen?  Diese Drehfigur berührt die Drehachse eigentlich nur im Ursprung...  Darüber haben wir etwas, was ein klein wenig wie ein Maulwurfshügel oder ringförmiges Häufchen aussieht.

Jeder waagrechte Querschnitt ist ein Kreisring, mit innerem Radius entsprechend der arcsin-Funktion, und dem äußeren Radius ...  nun, ja, wie?

z.B.  auf Höhe $\sqrt{1/2}$ was sagt dir da der Taschenrechner zum inneren Radius, und wie kriegst du dazu den äußeren Radius?

Letztlich musst du das Integral für den äußeren Ring berechnen, und davon dann das "Loch", Integral über den inneren Ring, abziehen.
Vielleicht kannst du die Differenz der zwei Integrale aber auch noch ein wenig vereinfachen, sodass du die Stammfunktion von $\arcsin(y)^2$ am ende gar nicht brauchst...

PS: die Lösung $2\pi^2$ stimmt.
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Wenn ich mir dies bildlich als Kreisring vorstelle, müsste ja der äußere Radius konstant $\pi$ bleiben, also unabhängig vom inneren Radius, welcher sich als arcsin(x) beschreiben lässt und von der Höhe abhängt. Des Weiteren handelt es sich dann ja quasi um einen Körper aus 2 Bestandteilen (abgetrennt vom Wellenberg der Sinuskurve). Warum ist es nötig das "Loch" hier abzuziehen, wenn es doch zum Gesamtvolumen gehört?   ─   user8faafd 15.05.2022 um 16:34

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Ich stelle mir jetzt einen Buckel der Sinuskurve vor, also in etwa: ◠
Beim linken Ende davon ist die y-Achse, beim rechten Ende davon ist $\pi$.

Wenn wir das jetzt um die y-Achse drehen, kommt (im Querschnitt) etwa sowas raus: ◠◠ , also ein Ringwall.

Deinem Kommentar nach klingt es so, als hättest du dir die Sinus Kurve zwischen 0 und $\pi$ so vorgestellt: ◜ ,
und die Drehfigur (im Querschnitt) wie: ˡ◝◜ˡ, aber das stimmt halt so nicht.
  ─   mathe42 15.05.2022 um 23:01

Ich bitte um Entschuldigung, bin etwas durcheinander geraten was die Integralfläche angeht, die rotiert wird. Ich habe es mir vorhin so vorgestellt, als ob der sin(x) nach dy von 0 bis 1 integriert und dann rotiert wird, was natürlich quatsch ist. Bisher war es mir möglich gesuchte Volumina durch stumpfes anwenden der Formel auszurechnen, weshalb diese Schwierigkeiten im Moment entstehen. Ich gehe trotzdem nochmal sicher, dass ich jetzt auch wirklich das richtige Volumen im Kopf habe: ich habe mir eine 3D-Skizze anfertigen lassen, welche ich in Kürze reineditieren werde.   ─   user8faafd 16.05.2022 um 23:06

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Ich habe es nun mittlerweile selber lösen können, ohne die Stammfunktion $ (arcsin(y))^2 $ zu brauchen. In der Differenz der Integrale hat es sich sauber rausgekürzt. Die Skizze scheint auch gepasst zu haben. Ich danke dir für deine Hilfe :).   ─   user8faafd 17.05.2022 um 20:31

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