Matrizen anhand von Eigenvektoren, Eigenwerten, Determinanten und Spuren bestimmen?

Aufrufe: 180     Aktiv: 29.05.2022 um 21:57
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Hallo Mathecommunity

Wie kommt man auf die Matrix auf diesem Weg, wenn Eigenwerte, Eigenvektoren, Spuren und Determinanten gegeben sind?

Der andere Weg is mir bekannt, wenn die Matrize gegeben ist, aber der umgekehrte nicht.

Grüsse
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Erstmal weiß man, dass \(A\) zu einer Diagonalmatrix konjugiert ist, weil \(A\) symmetrisch ist. Auf der Diagonalen stehen dabei dann alle Eigenwerte. Hierbei fehlt dann bei beiden Aufgaben ein Eigenwert, denn du aber mit der Determinante/Spur leicht berechnest, da sowohl Determinante als auch Spur konjugationsinvariant sind. Jetzt musst du nur noch die Basis aus Eigenvektoren ergänzen und dann gilt \(A=S^{-1} DS \), wobei \(D\) die Diagonalmatrix ist.
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Hallo, danke für die Antwort.

Ich habe jetzt den Eigenwert herausgefunden, aber mir fehlt jetzt der Eigenvektor dazu. Also der Vektor=(x,y,z)'.
Wie komme ich auf den?

Und was ist S und was ist jetzt die Diagonalmatrix?

Die Eigenwerte der Matrix A sind die Nullstellen des charakteristischen Poly-
noms p(λ) = det(A− λ E). Und wie hilft mir das weiter?
   ─   polymechanical 29.05.2022 um 16:07
Ich habe dir erklärt, dass wir, weil \(A\) symmetrisch, \(A\) zu einer Diagonalmatrix konjugieren, können also \(SAS^{-1}=D(iagonalmatrix)\). Es stehen auf der Hauptdiagonalen aber die Eigenwerte, also bei dem einen kommt z.B. \(-4\) raus. Jetzt haben wir also \(D\) und brauchen nur noch \(S\), es ist dann \(A=S^{-1}DS\). In den Spalten von \(S^{-1}\) stehen die Eigenvektoren in gleicher Reihenfolge wie die Eigenwerte in \(D\).   ─   mathejean 29.05.2022 um 16:29
D = [-2 0 0
0 6 0
0 0 -4]
[S]=solve(D==S*S^-1*D*S^-1)

kriege ich für S=1

mit dem Wert kann ich aber nix anfangen.

Wenn SAS^-1=D gilt und A=S^-1DS dann --> D=SS^-1DS^-1 oder?   ─   polymechanical 29.05.2022 um 16:53
Sehr gut D ist richtig! Aber S ist eine Matrix (genauer Basiswechselmatrix), hast du sowas schonmal beim diagonalisieren gemacht   ─   mathejean 29.05.2022 um 17:07
(Basiswechselmatrix) beim Diagonalisieren habe ich bis dato noch nicht gemacht. :)

Können Sie mir weiter helfen und das von Vorteil wäre mit Matlab?   ─   polymechanical 29.05.2022 um 18:36
Ich sage so wie du weißt was zu rechnen ist, Matlab kann ich nicht: du musst die beiden Eigenvektoren zu einer Basis ergänzen, d.h. wir suchen einen Vektor der linear Unabhängigkeit zu den beiden Eigenvektoren ist (dieser ist sogar automatisch orthogonal zu den beiden Eigenvektoren, weil A symmetrisch ist). Wenn du kennst Kreuzprodukt, versuch es damit (gibt bestimmt eine Befehl in Matlab)   ─   mathejean 29.05.2022 um 18:53
Das Kreuzprodukt ist mir bekannt. Wie rechne ich aber mit dem weiter? und welche Produkte sind zu kreuzen?   ─   polymechanical 29.05.2022 um 19:51
Du suchst einen Vektor der linear Unabhängigkeit ist zu den Eigenvektoren, weil A symmetrisch ist sind aber alle Eigenvektoren orthogonal, du kannst also die Eigenvektoren kreuzen   ─   mathejean 29.05.2022 um 19:59
Ok, nun habe ich den fehlenden Eigenvektor [0 17 17]'

Was nun?   ─   polymechanical 29.05.2022 um 21:04
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Sehr gut! Schreibe jetzt in eine Matrix \(T\) in die Spalten die Eigenvektoren in der selben Reihenfolge wie in der Diagonalmatrix und berechne \(T^{-1}\), es ist dann \(A=TDT^{-1} \). Keine Sorge die Arbeit lohnt sich, ich habe Ergebnis eben überprüft und es stimmt (sind aber große Brüche leider)   ─   mathejean 29.05.2022 um 21:34
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Hat geklappt! Vielen lieben Dank für die Hilfestellung. Hat Spass gemacht! :)
Schönen Sonntagabend noch, Grüsse. :)   ─   polymechanical 29.05.2022 um 21:57

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