Zu zeigen ist für \(a\in R\) die Gleichheit \(R^\times\cdot a=\{b\in R\ |\ \langle b\rangle=\langle a\rangle\} \), zeige dazu beide Inklusionen. In beiden Richtungen ist nicht viel zu tun. Zum Beispiel für "\(\subseteq\)": Sei \(u\in R^\times\), sodass \(ua\in R^\times a\). Zu zeigen ist \(\langle ua\rangle=\langle a\rangle\). Sei zunächst \(x\in\langle ua\rangle\), d.h. \(x=bua\) für ein \(b\in R\). Dann ist \(x=(bu)a\in\langle a\rangle\). Sei umgekehrt \(x\in\langle a\rangle\), d.h. \(x=ba\) für ein \(b\in R\). Dann ist \(x=b(u^{-1}u)a=(bu^{-1})(ua)\in\langle ua\rangle\), also haben wir \(\langle ua\rangle=\langle x\rangle\) gezeigt. Versuch die umgekehrte Inklusion "\(\supseteq\)" erstmal selber, die ist auch nicht schwer.