Bahn von a ist R*.a

Erste Frage Aufrufe: 42     Aktiv: 07.06.2021 um 15:52

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Sei (R,+,·) ein Ring und (R*,·) seine Einheitengruppe. Wir definieren die Abbildung f: R* x R → R, (x,y) ↦ x·y
 
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Die Bahn von a ∈ R ist R*.a = {b ∈ R mit ⟨b⟩ = ⟨a⟩}, das heißt die Menge aller Erzeuger des Hauptideals ⟨a⟩.
 
 
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zeig mal   ─   anonym 06.06.2021 um 19:03

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Zu zeigen ist für \(a\in R\) die Gleichheit \(R^\times\cdot a=\{b\in R\ |\ \langle b\rangle=\langle a\rangle\} \), zeige dazu beide Inklusionen. In beiden Richtungen ist nicht viel zu tun. Zum Beispiel für "\(\subseteq\)": Sei \(u\in R^\times\), sodass \(ua\in R^\times a\). Zu zeigen ist \(\langle ua\rangle=\langle a\rangle\). Sei zunächst \(x\in\langle ua\rangle\), d.h. \(x=bua\) für ein \(b\in R\). Dann ist \(x=(bu)a\in\langle a\rangle\). Sei umgekehrt \(x\in\langle a\rangle\), d.h. \(x=ba\) für ein \(b\in R\). Dann ist \(x=b(u^{-1}u)a=(bu^{-1})(ua)\in\langle ua\rangle\), also haben wir \(\langle ua\rangle=\langle x\rangle\) gezeigt. Versuch die umgekehrte Inklusion "\(\supseteq\)" erstmal selber, die ist auch nicht schwer.
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