Vorweg: Eine Funktion hat keinen Flächeninhalt, $f(x)\neq \sin \pi$ und $\sin \pi\neq 2$. Sorgfalt in Details ist oberstes Prinzip bei Mathe-Aufgaben. Achte darauf.
Beachte den Hauptsatz der Integralrechnung: $\int\limits_a^b f(x)\, dx =F(b)-F(a)$. Dann wird das Integral auch 2.
Für die Werte von $\cos$ mach eine schnelle Skizze, dann siehst Du sofort Deinen Fehler (ohne TR natürlich). Den Verlauf von $\sin$ und $\cos$ sollte man auswendig kennen.