Um Bijektiviät nachzuweisen, gibt es immer (mindestens) zwei Möglichkeiten: Du kannst Injektivität und Surjektivität zeigen oder du gibst explizit eine Umkehrfunktion an. Ich werde dir beide Möglichkeiten mal an deinem Beispiel \( f(x)=3x+5 \) veranschaulichen.

Möglichkeit 1:

Wir zeigen zunächst Injektivität, sprich: Sind die Funktionswerte \(f(x)\) und \(f(y)\) gleich, so müssen schon \(x\) und \(y\) gleich sein. Wir nehmen also an \( 3x+5 = 3y+5 \) (für beliebige \(x,y \in \mathbb{R}\)). Wenn wir auf beiden Seiten 5 abziehen und durch 3 teilen, erhalten wir \( x=y \). Also ist \(f\) injektiv.

Nun zeigen wir noch Surjektivität, sprich: Jeder Wert in der Zielmenge hat (mindestens) ein Urbild. Dazu geben wir uns ein beliebiges \(y \in \mathbb{R}\) vor. Die Gleichung \(3x+5=y\) liefert \(x= \frac{y-5}{3} \in \mathbb{R}\). Es gilt also \( f( \frac{y-5}{3})=y\) und somit besitzt \(y\) ein Urbild. Somit ist \(f\) surjektiv.

Da \(f\) injektiv und surjektiv ist, gilt Bijektivität.

Möglichkeit 2:

Wir geben eine Umkehrfunktion zu \(f\) an. Dazu definieren wir die Funktion \(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) durch \( g(y):= \frac{y-5}{3} \). Es gilt \(f(g(y))=f(\frac{y-5}{3})=3 \frac{y-5}{3}+5=y\) und \(g(f(x))=g(3x+5)=\frac{(3x+5)-5}{3}=x\) für alle \(x,y \in \mathbb{R}\). Somit haben wir mit \(g\) eine Umkehrfunktion zu \(f\) gefunden. Dies impliziert die Bijektivität.