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Hallo Zusammen

Ich habe das folgende Problem:
 
$f,g:S^1\rightarrow S^1$ seien stetige funktionen mit Grad $\deg(f), \deg(g)$. Berechnen Sie den Grad von $g\circ f$ in Abhängigkeit von den Graden von $f$ und $g$.
 
Ich bezeichne zunächst $$\deg(f)=n, \,\,\,\,\,\deg(g)=m$$ Da $f$ und $g$ zusammenhängend sind, wissen wir, dass die y homotop zu den Einschränkungen von $z\mapsto z^n$, $z\mapsto z^m$ auf den Einheitskreis ($S^1\subset \mathbb{C}$) sind. Aber dann weiß ich irgendwie nicht, wie ich vorgehen soll. Wie kann ich mir diese Homotopie vorstellen, wie hilft sie mir? 
 
Könnte mir vielleicht jemand helfen und mir einen Tipp geben?
 
Vielen Dank schon mal.
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Student, Punkte: 1.34K

 

Wie habt ihr mapping degrees definiert?   ─   zest vor 3 Tagen, 23 Stunden

wir haben die Winding number einer Funktion dann ist $\deg(f)=W(f,0)$ wobei W die winding number ist
  ─   karate vor 3 Tagen, 23 Stunden

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Ich bin leider nicht fit in Funktionentheorie, aber: Zusammenhang ist keine Eigenschaft von Funktionen sondern topologischen Räumen, ich weiß nicht was du meinst, wenn du schreibst, dass $f$ und $g$ zusammenhängend sind.Was ist $y$? $z\mapsto z^n$ ist doch bereits die Abbildung $S^1\to S^1$? Welche Einschränkung auf $S^1$ meinst du? Was habt ihr aufgeschrieben bzgl. Mapping degrees?

Mit Hilfe algebraischer Topologie ist das Problem aber relativ "einfach": Jede stetige Abbildung $f\colon S^1\to S^1$ induziert eine Abbildung $$f_*: H_1(S^1)\to H_1(S^1)$$ wobei $H_1(\cdot)$ die erste Homologie-Gruppe ist. Die erste Homologiegruppe $H_1(S^1)$ der $1$-Sphäre ist isomorph zu $\mathbb Z$, somit liefert die induzierte Abbildung $$f_*\colon \mathbb Z \to \mathbb Z,\ \alpha \mapsto d\cdot\alpha$$ und der Abbildungsgrad $\deg f$ von $f$ ist dann der (ganzzahlige) Koeffizient $d$.

Die Funktorialität des Homologie-Funktors liefert mit $$(g\circ f)_* = g_*\circ f_*$$ sofort, dass $$\deg g\circ f = \deg g\cdot \deg f.$$

Die Antwort wird dir vermutlich überhaupt nichts bringen, aber zumindest weißt du schonmal, dass der Abbildungsgrad der Komposition das Produkt der Abbildungsgrade ist.

Eine Lösung oder einen besseren Hinweis im komplexen kann ich leider nicht liefern. Jemand der sich in der Funktionentheorie besser auskennt weiß sicher mehr. Aber eventuell hilft das trotzdem.
  ─   zest vor 3 Tagen, 22 Stunden

ah okei vielen Dank, ja das hat mir sicherlich schon mal geholfen. ich schaue mal vielleicht finde ich da noch was.
danke für dein Engagement!!!
  ─   karate vor 3 Tagen, 22 Stunden

Jo, gerne.   ─   zest vor 3 Tagen, 22 Stunden
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