Wie kann ich die Behauptung beweisen?

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Du musst einfach nur zeigen, dass \(\phi\) bijektiv ist, da die Linearität schon durch die Aufgabe geben ist. Fang also mit der Surjektivität an, zeige, dass es zu einem beliebigen \(v\in V\) ein \(x\in K^n\) mit \(\phi(x)=v\). Danach machst du Injektivität. Kriegst du das hin?
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Vielen Dank für die Antwort. Die injektivität und surjektivität kann ich beweisen, jedoch weis ich nicht zu recht wie das hier aus zusehen hat, speziell mit der Linearkombination.   ─   dividedbyzero 07.06.2021 um 14:55

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Ich zeige dir mal die Surjektivität, vielleicht schaffst du dann die Injektivität selber. Wähle ein \(v\in V\), dann gilt \(v=\sum_{i=1}^n \lambda_iv_i\) mit \(\lambda_i \in K\), da \(v_1,\ldots,v_n\) nach Vorrausetzung eine Basis von \(V\) bilden. Sei nun \(x=(\lambda_1,\ldots, \lambda_n)\), dann ist \(x\in K^n\) und \(\phi(x)=v\). Hiermit hast du gezeigt, dass es zu jedem \(v\in V\) ein \(x\in K^n\), sodass \(\phi(x)=v\) gilt, somit ist \(\phi\) surjektiv.   ─   mathejean 07.06.2021 um 15:52

Danke. Kann ich dann für die Injektivität folgendes schreiben: Sein $x,x'\in K^n$ dann gilt $\phi(x) = \phi (x') \Longleftrightarrow \sum \limits_{i=1}^{n} xi *vi = \sum \limits_{i=1}^{n} x'i *vi \Longrightarrow x=x'$ somit ist $\phi$ injektiv. ?
  ─   dividedbyzero 07.06.2021 um 17:25

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Ja, das sieht gut aus :D Je nach dem wie streng deine Aufgabe korriegiert wird, solltest du zur letzten Implikation vlt einen kleinen Satz schreiben   ─   mathejean 07.06.2021 um 18:48

Was würdest du vorschlagen? Also mir fällt nichts ein was ich dazu noch sagen könnte, außer du meinst wieso aus x=x' folgt das $\phi $ injektiv ist? Du hast mir sehr geholfen, bietest du eigentlich Nachhilfe an? Natürlich gegen bezahlung :D   ─   dividedbyzero 07.06.2021 um 19:07

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Aktuell biete ich keine Nachhilfe an, da ich selber viel zu tuhen habe (bin erst im 4. Semester) und noch zusätzlich Tutor bin   ─   mathejean 08.06.2021 um 06:43

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Du kannst für die Injektivität einfach zeigen, dass \( \ker \phi\) trivial ist. Das sieht man sofort, denn nur der Nullvektor \( (0,...,0)^\top\) wird auf \( 0 \in V\) abgebildet.   ─   anonym 08.06.2021 um 09:29

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Ja, man kann sofort sehen, dass der Kern von \(\phi\) trivial ist, begründen müsstest du dies wahrscheinlich aber noch damit, dass Vielfache von Basisvektoren addiert werden und somit die Abbildungsmatrix regulär ist.   ─   mathejean 08.06.2021 um 12:29

Mir ist noch eine Frage aufgekommen, wie kann ich den einen zwischen schritt einbauen, um nochmal zu zeigen wieso aus den zwei Summen folgt das x=x' ist. Also wie darf man diese summen umformen? Kann ich einfach x und x' herausziehen ? Und wieso genau kann nur der Nullvektor in diesem Fall das 0 Element abbilden? Danke!   ─   dividedbyzero 09.06.2021 um 15:48

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Es kann nur der Nullvektor auf den Nullvektor abbilden, weil\(\phi\) injektiv ist, dies hattest du auch schon bewiesen. Und da der Nullvektor immer auf den Nullvektor abgebildet wird (aufgrund der Linearität gilt \(\phi(0)=\phi(0\cdot 0)=0\cdot \phi(0)=0\)), ist dies die einzige Möglichkeit. Der andere dargestellte Ansatz argumentiert dies damit, dass die Abbildungsmatrix hier regulär ist   ─   mathejean 09.06.2021 um 21:30

Achso, also reicht der Beweis $ ker\phi =$ {0} nicht aus? Weil ich kann doch die Behauptung nicht damit begründen das $\phi$ injektiv ist, da ich ja durch $ ker\phi =$ {0} erst zeigen will das $\phi$ injektiv ist. Ich hoffe du verstehst was ich meine, denn das der Kern = 0 ist wenn die Abbildung injetkiv ist, ist mir klar. Aber mir war nicht so klar wieso gerade bei dieser Abbildung nur dies gelten kann, also bevor wir überhaupt bewiesen haben das es sich hierbei um eine injektive Abbildung handelt.

2. Wie könnte der zwischen schritt von $\sum \limits_{i=1}^{n} xi * vi$ = $\sum \limits_{i=1}^{n} x'i * vi$ nach x=x' aussehen? Danke!
  ─   dividedbyzero 09.06.2021 um 21:52

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Wenn \( \ker \phi = \{0\}\) dann ist \( \phi\) injektiv.   ─   anonym vor 6 Tagen, 23 Stunden

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Der Kern ist trivial, weil die Zuordnungsvorschrift Linearkombinationen von Basisvektoren ist, somit ist die Abbildunsmatrix regulär   ─   mathejean vor 6 Tagen, 13 Stunden

Danke!   ─   dividedbyzero vor 6 Tagen, 7 Stunden

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\(\phi:K^n\to V\)  ist isomorph, wenn
  • \(\phi \) holomorph, also \(\phi(x+y)=\sum_{i=1}^{n} (x_i+y_i)v_i =\sum_{i=1}^{n} x_iv_i+\sum_{i=1}^{n} y_iv_i=\phi(x)+\phi(y)\)
  • \(\phi \) bijektiv ist
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Ich glaube du meinst homomorph   ─   mathejean 07.06.2021 um 10:08

ja klar   ─   gerdware 08.06.2021 um 09:37

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